結構

此時，集合內除了散亂的數，沒有別的東西。顯然，這樣的集合也沒有太大的意義。我們無法問兩個數加起來等於什麼，無法問兩個數之間的距離，因為這些東西都尚無定義。 ^[2] 

若對該集合賦予一些滿足公理(如加法與乘法的交換律、結合律、分配律等)的運算，且這些運算描述了數集中元素的關係，我們就可以稱賦予了這些運算的集合為一個代數結構。代數結構的例子有羣、環、域等。 ^[3] 

又比如，對於一個集合A={紐約，莫斯科，巴黎}，我們可以為該集合附加一個滿足相應條件(比如必須大於0)的“度量”，或者説距離函數，將任意兩個城市組成的二元組，例如(紐約，莫斯科)作為自變量，以一個數作為因變量。我們可以將這個數當作是這兩個城市間的距離。換言之，度量(結構)使得我們可以詢問任意兩個元素間的距離。此時，集合A也就成為了一個(數學)結構，即度量空間。 ^[1] 

一般而言，集合+(數學)結構=空間。常見的例子有線性空間、線性賦範空間、內積空間、n維歐幾里得空間、希爾伯特空間、拓撲空間等。 ^[1] 

我們往往可以看到一些代數結構(Algebraic Structure) ^[7]  ，比如交換代數、結合代數、外代數、李代數等。

也可能會看見一些“幾何結構”(Geometric Structure) ^[7]  ，比如n維歐幾里得空間、非交換幾何等。

代數結構常指被賦予關係與運算的集合，由這些關係與運算所能得到的結果，往往也就構成了一個“代數”，此時“代數”一詞是作為結構而存在的(如上文的李代數)。 ^[7] 

幾何結構，最廣泛地説，可以被視為定義了一些集合子集的分類，以及它們之間運算的規則。可選地，我們可以將一個集合S上的幾何結構G看作滿足(確定性質的)S的冪集的一個或多個子集。 ^[7]  舉例來説，歐幾里得的平面幾何，平面是一個點集，點、線、平面圖形等都是平面的子集，它們自身也是點集。兩點之間只有一連線之類的規則，定義了它們之間的關係與運算。

需要注意的是，這兩種結構並不是涇渭分明的，例如，對於一個平面，我們可以將其視為一個歐幾里得的幾何結構，也可以將其視為一個解析幾何的代數結構。 ^[7] 

對一個實數三元組的集合{(x,y,z)|x,y,z∈R}，作為

(其中

是笛卡爾積)即

，可以給其附加一個線性結構，一個歐式內積(結構)，由內積誘導出度量(結構)與範數(結構)，使得其成為一個實數域R上的3維歐幾里得空間。 ^[4] 

又例如，對於一個(實)拓撲流形，賦予其

類微分結構，使其成為一個

類(實)微分流形。 ^[5] 

考慮兩個線性空間V和W。 ^[8] 

從V到W的同構映射，就是一個線性映射，或者，如果是從V映射到V，也可以叫做線性變換(將V中的元素E變換為另一個元素F)。是的，線性代數裏的核心概念之一——線性映射，就是兩個代數結構之間同構映射的一個例子。它保持了線性組合的結構(幾何上將直線映射為直線，平面映射為平面)，即如果V中的幾個向量a、b、c有一個線性組合的關係——2a+3b-c，在映射後變成f(2a+3b-c)=2f(a)+3f(b)-f(c)。 ^[8] 

f(a)、f(b)、f(c)是a,b,c被映射之後的像，。顯然，a,b,c被映射後，其線性組合的形式依然不變，依舊是2d+3e-g的形式[其中d、e、g是代數項，代表任何向量，例如f(a)、f(b)]，而不是別的，例如114d+514e+3.1415g。 ^[8]