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冪集公理
鎖定
冪集公理基本介紹
冪集公理相關性質定理
由外延公理知,B是唯一的,並稱B是A的冪集。因此有如下定義。
定義1集合B是集合A的一個冪集,當且僅當
的冪集
記作
,便有
定義2對於一個集合A,如果存在自然數n,使得A恰有n 個元,則稱A 是有限的。
定理1若A是一個有限集合,且
令
則C的所有子集的個數恰是A 的所有子集的個數的二倍。
證明:因為對於A的每個子集,可加入B和不加入B這個元,這樣便得到C的所有子集,所以C的子集個數恰是A的子集個數的兩倍。
定理2對於自然數n,如果集合A恰有個n元,則
恰有
個元。
證明:用:
的歸納原理加以證明。對於n,設
是命題:對任意集合A,若A有n個元,則
有
個元。本定理證明化為:
也即要證:
是個歸納集,因此,
①證
令
,則
,即20=1故有
成立。
下面給出冪集的一般性質的定理。
定理3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
下面討論冪集與傳遞集的密切關係,首先給出如下定義。
由定義可知,
,可見,要説明A是個傳遞集,只要用下面三種論述之一成立時,便可斷定A是傳遞集:
①
,②
,③
因為它們都等價於
這個性質。
定理4對於傳遞集A,有
。
證明: 因為
定理5集合A是傳遞集當且僅當
。
定理6集合A是一個傳遞集當且僅當
是傳遞集。
定理7每個自然數是個傳遞集。