傳遞集

設 G 為Ω 上的置換羣。藉助 G 可以在Ω 上定義一種關係：點α 與β 有關係“～”，或α～β，如果有 G 中元素 g 使

。顯然關係”～”有反身性，對稱性和傳遞性，即“～”是一個等價關係。在此關係“～”下 Ω 點每個等價類，稱為 G 點一個軌道（orbit）或傳遞集。而 Ω 是 G 的一些軌道的無交併。如果 Ω 本身是 G 的一個軌道，就説 G 是 Ω 上的傳遞羣（transitive group）。 ^[1] 

[transitivity]

設 G 為Ω 上的置換羣，

。G 的全體以α 為不動點的元素組成一個子羣，稱為α 在 G 內的穩定子羣（stabilizer），記作

。設

為 G 在Ω 上的一個軌道，而且

。此時若β 也為

中一點，那麼，G 中把α 映成β 的那些元素組成的集合正好也是

在 G 內的一個右陪集。反過來，

在 G 內的任何一個右陪集的各元素都把α 映成

中的同一個點。因此在點集合

和

點右陪集所成的集合間右一個一一對應。於是，

點長度正好是

在 G 內的指數。於是得到公式

。當 G 在Ω 上傳遞時，有

。由此知道，傳遞羣 G 的階一定是Ω 的長度的倍數。若α，β點點屬於 G 的同一軌道

，則它們的穩定子羣在 G 內共軛。

前述點點穩定子羣的概念可推廣到子集上。設

是Ω 的子集。G 中把

作為集合還變成

的全體元素組成一個子羣，稱為

在 G 中的集型穩定子羣（set-wise stabilizer）。而 G 中把

裏每個點都保持不變的元素組成子羣稱為

在 G 中的點型穩定子羣（point-wise stabilizer）。當

時，我們把

當集型穩定子羣記作

。而把

的點型穩定子羣記作

。

仍設 G 為Ω 上點置換羣。用Ω^（k）表示Ω 的 k 元有序子集組成的集合。每個羣元素

都引起Ω^k的一個置換：

。於是 G 作用於集合Ω^k上。把 G 看成Ω^k上的置換羣，如果是傳遞羣，則説 G 在Ω 是 k 重傳遞的（k-transitive）。一個等價的説法是：羣 G 在Ω 是 k 重傳遞的，如果對 Ω 的任意的 k 個不同的點

和任意的 k 個不同的點

，G 中都有一個元素 g 使得

同時成立。由此知前面所説的 G 在Ω 上傳遞實際上就是 G 在Ω 上是1重傳遞的。2重傳遞羣也稱雙傳遞羣。習慣上當k>1時，k重傳遞羣稱為多重傳遞羣。k>1時Ω 上的 k 重傳遞羣也是

重傳遞羣。若 G 是Ω 上的 k 重傳遞羣，則 G 的階是

的倍數，這裏 n 為Ω 的長度。若

，則Sym（Ω）是Ω 上的 n 重傳遞羣。而當

時，Alt（Ω）是Ω 上的

重傳遞羣。

對多重傳遞羣的研究從來是置換羣理論的最重要的課題。背景是，雖然當

時，存在無窮多個 k 重傳遞羣，但是，除去對稱羣和交錯羣外，人們只知道四個4重傳遞羣，即馬蒂厄羣

和

,這裏

和

是5重傳遞羣。在有限單羣分類定理獲證之後，人們才知道確實不存在其他的4重和5重傳遞羣。利用單羣分類定理，人們已經可以不遺漏地羅列出所有的2重傳遞羣。