樸素集合論

在純數學中，樸素集合論是由德國數學家康托爾最早創立的第一個集合論，它後來被更加仔細的構架為公理化集合論。

樸素集合論區別於公理化集合論在於，前者依賴把集合作為叫做這個集合的“元素”或 “成員”的對象(客體)的蒐集(collection)的對集合的非形式理解的事實，而後者只使用可以從明確定義的公理列表證明的關於集合和成員關係的事實(公理起源自我們對對象的蒐集和它們的成員的理解，但為了各種目的而被仔細的構架，包括但不限於避免已知的悖論)。

集合在數學中是極其重要的；實際上，用現代形式手段，多數數學對象(數、關係、函數等等)都可以用集合來構建。

在樸素集合論中，集合是指由許多物件組成，有明確定義的蒐集）。這些物件稱為集合的元素或是成員。物件可以是數字、人、其他組合等。例如，4是所有偶數形成集合中的元素。而集合的成員可以是無限多個，像是偶數形成的集合就有無限多個元素。

若x是集合A的成員，也可以説x屬於A，可以用

表示，

符號衍生自希臘字母小寫的

，是朱塞佩·皮亞諾在1889年引入，應該是因為是ἐστί（意思是"是"）的第一個字母。也常在x∉A的式子中用到符號 ∉，意思是x不屬於A。

兩個集合A和B若其元素完全相同，則定義為二集合相等。也就是説，集合A的每一個元素都在集合B裏，而集合B的每一個元素都在集合A裏（參考外延公理）。因此一個集合可完全由其元素來確認，描述方式不是重點。例如一個有元素2, 3和5的集合和由小於6的質數組成的集合相等。

若集合A和B相等，可以表示為A=B。

空集合常會以

表示，有時會表示為

，是一個沒有任何元素的集合，因為集合可完全由其元素來確認，因此只有一個空集合（參考空集公理）。雖然空集合沒有任何元素，但空集合本身可以是其他集合的元素。因此

，因為前者沒有元素，後者有一個元素。

樸素集合論中的“樸素”是指一個非形式化的理論，也就是用自然語言來描述集合以及集合的運算。語言中用到的and、or、if ... then、not、for some、for every都和一般數學中使用的相同。為了方便起見，樸素集合論中用到的用語也會在更高階的數學中出現，甚至是出現在公理化集合論中。

樸素集合論是最早發展的集合論，是在19世紀末由格奧爾格·康托爾在其無限集合的研究中提出的，後來由戈特洛布·弗雷格在《概念文字》一書中繼續發展 ^[1]  。

樸素集合論也可以指許多不同的主題，可以是：

1）公理化集合論的非正式表示，例如保羅·哈爾莫斯的《Naive Set Theory》；

2）格奧爾格·康托爾理的其他版本，或是其他非公理化的理論；

3）具有決定性不一致的理論（不論是否公理化），例如戈特洛布·弗雷格提出，會造成羅素悖論的理論，或是朱塞佩·皮亞諾或理查德·戴德金的理論。

樸素集合論中假設任何一個性質都可以用來建構集合，不受任何限制，此一假設就造成了悖論，一個常見的悖論是羅素悖論： 沒有一個集合是由“所有不包括自身的集合”所組成的 ^[2]  。

若存在此一集合，集合是由“所有不包括自身的集合”所組成的，則：

1）若此集合不是集合本身的成員，此集合符合“不包括自身的集合”的定義，應該要是此集合的成員之一，矛盾；

2）若此集合是集合本身的成員，此集合不符合“不包括自身的集合”的定義，不應該在此集合中，矛盾。

因此樸素集合論的一致性系統需要在可形成集合的條件上作一些限制，以避免出現上述悖論。