康托爾悖論

一年一度的某中學藝術節又要到來了。本次藝術節共設三項：書畫比賽、歌詠比賽和圍棋比賽。初二·三班的文藝委員孟娟對本班參賽人員進行統計，結果是：參加書畫比賽的15人，參加歌詠比賽的28人，參加圍棋比賽的25人，但使孟娟百思不得其解的是，參加人員總計68人，而她的班裏總共才有60人，剩餘的8人是從何處來的呢？原來，這是由集合的性質造成的。

關於集合的理論是19世紀末開始形成的。當時德國數學家康托爾試圖回答一些涉及無窮量的數學難題，例如“整數究竟有多少？”“一個圓周上有多少點？”0—1之間的數比1寸長線段上的點還多嗎？”等等。而“整數”、“圓周上的點”、“0—1之間的數”等都是集合，因此對這些問題的研究就產生了集合論。

集合是什麼呢？用康托爾的話説，集合就是把具體的或思想上的一些確定的、彼此不同的對象聚集成的整體。簡單説來，集合就是一組事物。例如“中華人民共和國的直轄市”、“星期二數學課遲到的人”、“張三穿過的鞋”等都是集合。物以類聚，人以羣分，同類的人或事物總有共同的特點或性質，根據這種特點或性質就可以決定一個類，這個類就是集合。

構成一個集合的東西均屬於這個集合，屬於這個集合的個體稱為集合的元素，比如“小於7的正奇數”就是一個集合，構成這個集合的1、3、5就是這個集合的元素。給出一個集合，就規定了這個集合是由哪些元素組成的。顯然，對於任何事物來説，它要麼屬於一個集合，要麼不屬於這個集合，二者必居其一。如1和3屬於“小於7的正奇數”這一集合，而6和8則不屬於這個集合。

在算術中我們常比較一些數，找出其中哪一個數較大。集合也可以進行比較，而比較的方法之一就是把一個集合的元素與另一個集合的元素進行比較。集合{1，3，5，7}與集合{2，4，6，8}不同，因為二者的元素不同。而集合A={a，b，c}與集合B={c，b，a}則是相同的，這是因為這兩個集合有着相同的元素，這時我們記作A=B。至於元素排列的次序是否一樣，倒是沒有關係的，只要兩個集合具有相同的元素，它們就是相等的。

集合之間還可以採用一一對應的方法進行比較。古時有一人遭誣陷後被關進了漆黑一團的地下室裏，他一心想着能早日出去報仇，但在這幽暗的世界裏，沒有黑夜與白天的分別，當然更沒有天數的概念、怎麼能知道自己在這裏呆了多少天呢？他發現了一個竅門，原來獄卒每隔一天倒一次馬桶。於是每當獄卒倒馬桶時，他就用石塊在牆上劃一道線，這樣馬桶的集合與線的集合就形成一一對應，而馬桶的集合又與日期的集合形成一一對應，因此，從線的多少就可以知道天數的多少。

要對任何兩個集合進行比較，只要用一個集合的元素去對應另一個集合的元素就可以了。如果兩個集合有一一對應的關係，那麼我們就説兩個集合是等價的，如上述線的集合、馬桶的集合、日期的集合相互之間都是等價的。但值得注意的是兩集合等價與相等不是一回事。例如在初一·二班中有張三和李四兩位同學，張三的老師的集合A與李四的老師的集合B是相等的，因為兩集合的元素是完全相同的；也就是：

A={王五，趙六，周七}

‖ ‖ ‖

B={王五，趙六，周七}

但假如張三與李四不是同一學校的，張三的老師的集合A與李四的老師的集合C就不是相等而可以是等價的，因為兩集合的元素只是一一對應，而不是相同的，也就是：

A={王五，趙六，周七}

C={吳八，鄭九，陳十}

判斷若干個集合是否等價最簡單的辦法就是看每個集合內元素的個數是否相等，一集合的元素的個數稱為此集合的基數，例如{北京，天津，上海}這一集合有三個元素，故其基數為3，而{《孔乙己》，《風波》，《阿Q正傳》，《一件小事》}有四個元素，則基數為4。

有一些集合，它們的元素是有窮的，如{1，4，9，……100}，{里根，布什，克林頓}，這種集合稱為有窮集合。而有些集合則有無窮多個元素，如整數的集合、宇宙中星體的集合等，這種集合稱為無窮集合。無窮集合的基數大於任何有窮集合的基數。由上節的分析可以看出，無窮集合可以通過一一對應的方法進行比較，但卻出現了令人驚訝的結果，如偶數集合與自然數集合的元素一樣多，一條線上點的集合與平面上點的集合其元素也是相等的。康托爾把無窮集合的概念作為集合理論的基礎，並證明無窮集合的一個顯著特點就是無窮集合自身可與其部分具有一一對應關係。

還有一種集合與無窮集合恰好相反，這種集合不包含任何元素，例如“能被2整除的奇數的集合”、“活到1200歲的人的集合”等，這些集合叫空集。在我們討論具有某種性質的對象時，把具有這種共同性質的一切元素組成的集合叫做全集。例如在某運動會中，參加某一項目競賽的共有10名運動員，那麼這10名運動員組成的集合就是參賽運動員的全集。

在一集合中，我們可以拿出一部分元素來組成新的集合。在本節開始所述的例子中，“初二·三班的學生”是一集合，而在這些學生中，又可以分出幾種不同類型的學生，如參加歌詠比賽的學生、參加書畫比賽的學生、參加圍棋比賽的學生等。這幾類學生是初二·三班學生組成的幾種集合，這些集合都是初二·三班學生集的子集。顯然，子集是包含於原來集合的子集的元素，如張三既是參加書畫比賽學生集的元素，同時也是初二·三班學生集的元素。當然，我們還可以按其他條件組成不同的子集。如男學生集、女學生集、團員學生集、參加英語學習小組學生集等等。那麼給定一個集，能組成多少個子集呢？我們具體看一下，例如：

{1}可有{}、{1}2個子集；

{1，2}可有{}、{1}、{2}、{1，2}4個子集；

{1，2，3}可有{}、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}8個子集。

依次類推，可以看出，一個含有n個元素的集合有2^n個子集。

需要注意的是，在集合論中，對於集合有多少元素沒有限制，所以會出現只有一個元素的或沒有元素的子集（空集），原集本身也是自己的子集。所以當我們問原集能有多少個子集的時候，空集和原集也須計算在內。

一個集合的所有子集也可以組成集合，這個集合叫做原集的冪集。例如{張三，李四}這一集合的冪集就是

{{}{張三}，{李四}，{張三，李四}}。

兩個或兩個以上的集合還可以通過運算形成新的集合。例如英語考試優秀的學生集A={趙麗，王芳，陳鳳}，數學考試優秀的學生集B={朱軍，王銘，王芳}。這兩個集可以相加組成集C，它既包含了A的元素，又包含了B的元素，這個集就是{趙麗，王芳，陳鳳，朱軍，王銘}。這個集稱為A和B的並集。注意的是，王芳在上面的集中不必寫兩次，只要寫一次就説明她是C的元素了。因此C的基數並不等於A的基數加B的基數，而是二者相加後再減去共同的元素。文藝委員盂娟在作統計時實際上就是把3個子集進行相加，但要把3個子集的基數相加後再減去共同的元素才能等於初二·三班的總人數。而孟娟只是簡單相加，忘記了應減去相同的元素，難怪要多出8人了。集合A和B還可以相乘得一新集合D，D是由於A、B中共同的元素組成的集即{王芳}，D稱為A和B的交集。

以上是康托爾集合論的一些基本概念。當時德國數學權威、他的老師克洛耐克的攻擊尤為激烈。他説：“康托爾走進了超窮數的地獄。”他有一句名言：“上帝創造了正整數，其餘的是人的工作。”就是説，人只能在正整數的有窮範圍內研究，至於無窮的世界則完全超乎人的能力之外。甚至不承認康托爾為他的學生。在這種情況下，康托爾長期受到壓抑和排擠，竟然得不到柏林大學的教授職位，他鬱郁不得志，一度精神崩潰，放棄數學的研究，後來終於在一家精神病院去世。

然而康托爾集合論的創立是人類思維發展史上的一座里程碑，它標誌着人類經過幾千年的努力，終於基本弄清了無窮的性質。因此越來越多的人開始承認它，併成功地把它應用到許多別的數學領域中去。大家認為，集合論確實是數學的基礎。而且，由於集合論的建立，數學的“絕對嚴格性已經取得”。這時，數學的王國裏春光明媚，陽光和煦，一派太平景象。然而正當人們喜氣洋洋、興高采烈地準備大擺“百牛宴”時，數學王國的大地上突然爆發了空前強烈的地震——在集合論發現了一系列的悖論。

這些悖論的出現，可以説是康托爾集合論的必然結果。實際上在19世紀末，康托爾本人就已發現自己理論中有不少矛盾，但他沒有聲張，而是悄悄地在利用。

由上可知，有1個元素的集合其子集有2個，有2個元素的集合其子集共有4個，一般地，有n個元素的集合其子集有2^n個,n個元素的集合其基數為n，而其所有子集組成的集合的基數為2^n ，顯然2^n＞n。因此有“康托爾定理”：任意集合（包括無窮集）的冪集的基數大於該任意集合的基數。

據康托爾集合理論，任何性質都可以決定一個集合，這樣所有的集合又可以組成一個集合，即“所有集合的集合”（大全集）。顯然，此集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按“康托爾定理”又必然是更大的，那麼，“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”，這就是“康托爾悖論”。對這一悖論，康托爾並沒有感到害怕，因為通過反證法恰恰證明沒有“所有集合的集合”或者説“最大的集合”，當然也沒有“最大的基數”。

悖論的出現這時並沒有引起多大的震動，人們覺得這似乎僅僅牽涉到集合理論的一些技術問題，只要作適當的修正，集合論仍然會成為數學大廈的基礎，康托爾只是利用悖論進行反證，而並沒有細究悖論的來源及意義，他沒有意識到這種反證之所以可能，是因為他的理論中所使用的基本概念“集合”、“屬於”、“元素”是包含着矛盾的。1901年羅素髮表的“羅素悖論”則“剝掉了數學技術性的細節”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出來了！

《古今數學思想》書中 (第四冊289頁) 指出：二十世紀數學中最為深入的活動，使關於基礎的探討，強加於數學家的問題，以及他們自願承擔的問題，不僅牽涉到數學的本質，也牽涉到演繹數學的正確性。

在這世紀的前期，有幾種活動匯合起來把基礎問題引到一個高潮，首先是矛盾的發現，委婉地被稱為悖論，在集合論中尤為突出。……。