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相合性

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相合性(consistence)是一個估計量所應具備的最基本的性質。相合估計亦稱為一致估計、相容估計，估計量的一種大樣本性質為：當樣本容量n充分大時，估計量可以以任意的精確程度逼近被估計參數的真值。按收斂意義不同，可以區分不同的相合性，常見的有：弱相合估計、強相合估計、r階相合估計，這三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的 [1]  。
中文名
相合性
外文名
consistence
所屬學科
數學（統計學）
相關概念
相合估計，估計量等
分    類
弱相合、強相合、r階相合估計

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. ▪ 弱相合估計
  3. ▪ 強相合估計
  4. ▪ r階相合估計
  5. 2 相關定理
  1. ▪ 定義
  2. ▪ 定理1
  3. ▪ 定理2
  4. ▪ 定理3
  5. ▪ 定理4
  1. 3 例題解析
  2. ▪ 例1
  3. ▪ 例2

相合性基本介紹

無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的前提下提出的，當希望隨着樣本容量的增大，一個估計量的值能夠穩定在待估參數真值的附近，這就是估計量的相合性的要求。
設
為
的基於樣本的
的一個估計量，顯然它依賴於樣本n，為表明這種依賴性，可以記之為
。隨着樣本量的變化，可得到一列估計量，一個自然的希望是，當樣本容量無限增加時，估計量能夠依某種意義接近於被估計量的真值。顯然，這是對估計量的起碼要求。相合性就是這樣的一個要求。 [2] 

相合性弱相合估計

簡稱“相合估計”。稱
為
的弱相合估計，如果
依概率收斂於
，即當n充分大時，有
。

相合性強相合估計

稱
為
的強相合估計，如果
以概率1收斂於
，即當n充分大時，有
。

相合性r階相合估計

稱
為
的r階相合估計，如果
r階收斂於
，即當n充分大時，有
。特別，當r=2時，稱
為
的均方相合估計。
上述三種相合性之間的關係與三種收斂性的關係是完全一致的。上面的定義中，收斂性指對於任意固定的
收斂。假設相應的收斂關於
是一致的，則相應的相合性稱做“一致相合性” [1]  。

相合性相關定理

相合性定義

定義1 設
為
的基於樣本的
的一個估計量，若對任意固定的
，都滿足：對於任給的
，有
成立，則稱
為
的相合估計，上述極限式簡記為
。 [2] 
定義2若對任何固定的
都有
則稱
為
的強相合估計量，上述式子可簡記為
，這裏a.s.為almost surely的縮寫。 [2] 
式(1)表明隨機變量序列
依概率收斂於
，而式(2)即
幾乎處處收斂於
。由以上定義以及幾乎處處收斂和依概率收斂之間的關係知，強相合估計必為相合估計。

相合性定理1

設
在參數空間
上連續，
為
的強相合估計量，i=1,2,...,k，則
為
的強相合估計量。 [2] 

相合性定理2

設總體有直到k(k≥2)階的矩
。
可表示為
，且G為連續函數。記
分別為樣本原點矩和樣本中心矩，則
為
的強相合估計量。
注意：由該定理可知，矩估計量一般是強相合的。 [2] 

相合性定理3

設分佈族
滿足：
（1）X是有限集；
（2）對於不同的參數值θ和θ’，所對應的分佈不同；
（3）
有共同支撐，即
與θ無關；
則對於簡單隨機樣本
，θ的最大似然估計量
存在，且
為θ的相合估計量。 [2] 

相合性定理4

設分佈族
滿足：
（1）θ為R（一維實空間）中的開集；
（2）不同的參數值θ和θ’，所對應的分佈不同；
（3）
有共同支撐A；
（4）
對θ的偏導數
在X上存在，並且當簡單隨機樣本
時，似然方程
有且僅有解
，則
，即
為θ的相合估計量。 [2] 

相合性例題解析

相合性例1

設
，則
是θ的有偏估計，但它是相合的。
證明：
的密度函數為
，此處
為A的示性函數。故對任意ε>0，有
可見
為θ的相合估計。

相合性例2

設
，證明θ的極大似然估計是相合的。
證明：似然函數為
故有
可見
為θ的嚴格單調下降函數。又因為
從而
有且僅有一個解。故似然方程的根必為極大似然估計量且是相合估計。
參考資料
  • 1.    鄭家亨．統計大辭典：中國統計出版社，1995
  • 2.    張忠佔，謝田法，楊振海．應用數理統計：高等教育出版社，2011