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估計量
鎖定
在統計學中,估計量是基於觀測數據計算一個已知量的估計值的法則:於是估計量(estimator)、被估量(estimand)和估計值(estimate)是有區別的。
[1]
估計量用來估計未知總體的參數,它有時也被稱為估計子;一次估計是指把這個函數應用在一組已知的數據集上,求函數的結果。對於給定的參數,可以有許多不同的估計量。我們通過一些選擇標準從它們中選出較好的估計量,但是有時候很難説選擇這一個估計量比另外一個好。
估計量定義
用來估計總體未知參數用的統計量。
設(X1,……,Xn)為來自總體X的樣本,(X1,……,Xn)為相應的樣本值,θ是總體分佈的未知參數,θ∈Θ。
Θ表示θ的取值範圍,稱Θ為參數空間.儘管θ是未知的,但它的參數空間Θ是事先知道的.為了估計未知參數θ,我們構造一個統計量h(X1,……,Xn),然後用h(X1,……,Xn)的值h(X1,……,Xn)來估計θ的真值,稱h(X1,……,Xn)為θ的估計量。
估計量量化特性
以下定義和屬性是相關的。
估計量誤差
對於一個給定樣本x,估計量
的"誤差"定義為
其中
是待估參數。注意誤差e不僅取決於估計量(估計公式或過程),還取決於樣本。
估計量均方誤差
估計量
的均方誤差被定義為誤差的平方的期望值,即為:
它用來顯示估計值的集合與被估計單個參數的平均差異。試想下面的類比:假設“參數”是靶子的靶心,“估計量”是向靶子射箭的過程,而每一支箭則是“估計值”(樣本)。那麼,高均方誤差就意味着每一支箭離靶心的平均距離較大,低均方誤差則意味着每一支箭離靶心的平均距離較小。箭支可能集聚,也可能不。比如説,即使所有箭支都射中了同一個點,同時卻嚴重偏離了靶子,均方誤差相對來説依然很大。然而要注意的是,如果均方誤差相對較小,箭支則更有可能集聚(而不是離散)。
估計量一致性
一致估計量序列是一列隨着序號(通常是樣本容量)無限增大時依概率收斂於被估量的估計量序列。換句話説,增加樣本容量增大了估計量接近總體參數的概率。
[1]
在數學上,一個估計量序列{tn;n≥ 0}是參數θ的一致估計量當且僅當對於所有ϵ> 0,不管多小,我們都有
就如,一個人不斷地拋硬幣,隨着次數的增多,任何一面出現的概率(機率)就會趨於0.5。那麼這個0.5就是這個拋硬幣事件中任何一面出現概率的一致估計量,或者説一致估計值。