無偏估計量

設

是來自總體X的一個樣本，θ是包含在總體X的分佈中的待估參數。

若估計量

的數學期望

存在，且有

，則稱

是θ的無偏估計量。

在科學技術中，

稱為以

作為θ的估計的系統誤差，無偏估計的實際意義就是無系統誤差。

例如，設總體X的均值𝜇及方差σ²都存在但均未知，因為

，

，這就是説不論總體服從什麼分佈，其樣本均值是總體均值的無偏估計，樣本方差是總體方差的無偏估計。若

，則稱

是θ的漸進無偏估計量。

設總體X的k階中心矩

存在，

是X的一個樣本，不論X服從什麼分佈，

是

的無偏估計量。特別地，不論X服從什麼分佈，只要E(X)存在，

總是E(X)的無偏估計。

因為

與X同分布，所以

。

對於總體X，設E(X)=𝜇，D(X)=σ²都存在，且σ²>0，若𝜇，σ²均未知，則σ²的估計量

是有偏的。另一方面，由於

，所以

是σ²的漸進無偏估計量。

因為

，而

故

所以

是σ²的有偏估計。

若在

的兩邊同乘

，即

，而

。

可見樣本方差S²可以作為方差σ²的估計，而且是無偏估計。因此常用S²作為方差σ²的估計量。從無偏估計量的角度考慮，S²比二階中心矩作為

的估計好。 ^[1] 

在實際應用中，對整個系統（整個實驗）而言無系統偏差，就一次實驗來講，

可能偏大也可能偏小，實質上並説明不了什麼問題，只是平均來説它沒有偏差，所以無偏性只有在大量的重複實驗中才能體現出來；另一方面，無偏估計只涉及一階矩（均值），雖然計算簡便，但往往會出現一個參數的無偏估計有多個，而無法確定哪個估計量好。因此，無偏性的作用在於可以把重複估計中的各次誤差通過平均來消除。這並不意味着該估計量在一次使用時並能獲得良好的結果。在具體問題中，無偏性是否合理，應當結合具體情況來考慮。在有些問題中，無偏性的要求可能會導出不同的結果來。 ^[2] 

事實上，

中的每一個均可作為θ的無偏估計量，究竟哪個估計量更合理，就看哪個估計量的觀察值更接近真實值，即估計量的觀察值更密集地分佈在真實值附近。而方差能反映隨機變量取值的分散程度，所以無偏估計以方差最小者為最好、最合理，為此後人引進了估計量的有效性概念。