密度函數

在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。 ^[1] 

這裏指的是一維連續隨機變量，多維連續變量也類似。

隨機數據的概率密度函數：表示瞬時幅值落在某指定範圍內的概率，因此是幅值的函數。它隨所取範圍的幅值而變化。

密度函數f(x) 具有下列性質：

①

；

②

③

對於一維實隨機變量X，設它的累積分佈函數是

，如果存在可測函數

，滿足：

那麼X是一個連續型隨機變量，並且

是它的概率密度函數。

連續型隨機變量的概率密度函數有如下性質：

如果概率密度函數fX(x)在一點x上連續，那麼累積分佈函數可導，並且它的導數：

由於隨機變量X的取值只取決於概率密度函數的積分，所以概率密度函數在個別點上的取值並不會影響隨機變量的表現。更準確來説，如果一個函數和X的概率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來説測度為0（是一個零測集），那麼這個函數也可以是X的概率密度函數。

連續型的隨機變量取值在任意一點的概率都是0。作為推論，連續型隨機變量在區間上取值的概率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}並不是不可能事件。 ^[2] 

最簡單的概率密度函數是均勻分佈的密度函數。對於一個取值在區間[a,b]上的均勻分佈函數

，它的概率密度函數：

也就是説，當x不在區間[a,b]上的時候，函數值等於0；而在區間[a,b]上的時候，函數值等於這個函數

這個函數並不是完全的連續函數，但是是可積函數。

正態分佈是重要的概率分佈。它的概率密度函數是：

隨着參數μ和σ變化，概率分佈也產生變化。

對概率密度函數作傅里葉變換可得特徵函數。

特徵函數與概率密度函數有一對一的關係。因此知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的概率密度函數。