原點矩

在數理統計學中有一類數字特徵稱為矩。

原點矩：令k為正整數（或為0），a為任何實數，X為隨機變量，則期望值

叫做隨機變量X對a的k階矩，或叫動差。如果a=0，則有E（X^k），叫做k階原點矩，記作

，也叫k階矩。 ^[1] 

顯然，一階原點矩就是數學期望，即

設隨機變量X的函數

的數學期望存在，則稱

為X的k階中心矩，記作

，即

易知，一階中心矩恆等於零，即

；二階中心矩就是方差，即

。 ^[2] 

原點矩與中心矩的關係

等等以此類推。

原點矩顧名思義，是隨機變量到原點的距離（這裏假設原點為零點）。中心矩則類似於方差，先要得出樣本的期望即均值，然後計算出隨機變量到樣本均值的一種距離，與方差不同的是，這裏所説的距離不再是平方就能構建出來的，而是k次方。這也就不難理解為什麼原點矩和中心矩不是距離的“距”，而是矩陣的“矩”了。我們都知道方差源於勾股定理，這就不難理解原點矩和中心矩了。還能聯想到力學中的力矩也是“矩”，而不是“距”。力矩在物理學裏是指作用力使物體繞着轉動軸或支點轉動的趨向。力矩也是矢量，它等於力乘力臂。

二階中心矩，也叫作方差，它告訴我們一個隨機變量在它均值附近波動的大小，方差越大，波動性越大。方差也相當於機械運動中以重心為轉軸的轉動慣量。三階中心矩告訴我們一個隨機密度函數向左或向右偏斜的程度。

在均值不為零的情況下，原點矩只有純數學意義。

設隨機變量

在(a，b)上服從均勻分佈。試求隨機變量

的k階原點矩和三階中心矩。

解：

因為

故