最大似然估計

最大似然估計是一種統計方法，它用來求一個樣本集的相關概率密度函數的參數。這個方法最早是遺傳學家以及統計學家羅納德·費雪爵士在1912年至1922年間開始使用的。

“似然”是對likelihood 的一種較為貼近文言文的翻譯，“似然”用現代的中文來説即“可能性”。故而，若稱之為“最大可能性估計”則更加通俗易懂。

最大似然法明確地使用概率模型，其目標是尋找能夠以較高概率產生觀察數據的系統發生樹。最大似然法是一類完全基於統計的系統發生樹重建方法的代表。該方法在每組序列比對中考慮了每個核苷酸替換的概率。

例如，轉換出現的概率大約是顛換的三倍。在一個三條序列的比對中，如果發現其中有一列為一個C，一個T和一個G，我們有理由認為，C和T所在的序列之間的關係很有可能更接近。由於被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的計算變得複雜；又由於可能在一個位點或多個位點發生多次替換，並且不是所有的位點都是相互獨立，概率計算的複雜度進一步加大。儘管如此，還是能用客觀標準來計算每個位點的概率，計算表示序列關係的每棵可能的樹的概率。然後，根據定義，概率總和最大的那棵樹最有可能是反映真實情況的系統發生樹。 ^[1] 

給定一個概率分佈D，假定其概率密度函數（連續分佈）或概率聚集函數（離散分佈）為f_D，以及一個分佈參數θ，我們可以從這個分佈中抽出一個具有n個值的採樣X₁,X₂,...,X_n，通過利用f_D，我們就能計算出其概率：

但是，我們可能不知道θ的值，儘管我們知道這些採樣數據來自於分佈D。那麼我們如何才能估計出θ呢？一個自然的想法是從這個分佈中抽出一個具有n個值的採樣X₁,X₂,...,X_n，然後用這些採樣數據來估計θ。

一旦我們獲得，我們就能從中找到一個關於θ的估計。最大似然估計會尋找關於 θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，尋找一個值使這個採樣的“可能性”最大化）。這種方法正好同一些其他的估計方法不同，如θ的非偏估計，非偏估計未必會輸出一個最可能的值，而是會輸出一個既不高估也不低估的θ值。

要在數學上實現最大似然估計法，我們首先要定義可能性：

並且在θ的所有取值上，使這個函數最大化。這個使可能性最大的值即被稱為θ的最大似然估計。 ^[1] 

如果

是 θ的一個最大似然估計，則當函數α =g(θ)具有單值反函數時，

是α =g(θ)的一個最大似然估計。 ^[2] 

最大似然估計函數在採樣樣本總數趨於無窮的時候達到最小方差（其證明可見於Cramer-Rao lower bound）。當最大似然估計非偏時，等價的，在極限的情況下我們可以稱其有最小的均方差。對於獨立的觀察來説，最大似然估計函數經常趨於正態分佈。 ^[1] 

最大似然估計的非偏估計偏差是非常重要的。考慮這樣一個例子，標有1到n的n張票放在一個盒子中。從盒子中隨機抽取票。如果n是未知的話，那麼n的最大似然估計值就是抽出的票上標有的n，儘管其期望值的只有(n + 1) / 2。 為了估計出最高的n值，我們能確定的只能是n值不小於抽出來的票上的值。 ^[1] 

基於對似然函數L(θ)形式(一般為連乘式且各因式>0)的考慮，求θ的最大似然估計的一般步驟如下：

(1)寫出似然函數

總體X為離散型時：

總體X為連續型時：

(2)對似然函數兩邊取對數有

總體X為離散型時：

總體X為連續型時：

(3)對

求導數並令之為0：

此方程為對數似然方程。解對數似然方程所得，即為未知參數 的最大似然估計值。 ^[1] 

設總體X~N(μ，σ²)，μ，σ為未知參數，X1,X2...,Xn是來自總體X的樣本，X1,X2...,Xn是對應的樣本值，求μ與σ²的最大似然估計值。 ^[1] 

解：X的概率密度為

可得似然函數如下：

取對數，得

令

解得

故μ和σ的最大似然估計量分別為