球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛定諤方程表達為

其中，

是普朗克常數，

是粒子的質量，

是粒子的波函數，V是位勢，r是徑向距離，E是能量。

由於球對稱位勢V(r)只與徑向距離有關，與天頂角

、方位角

無關，為了便利分析，可以採用球座標

來表達這問題的薛定諤方程。然後，使用分離變數法，可以將薛定諤方程分為兩部分，徑向部分與角部分。 ^[1] 

採用球座標

，將拉普拉斯算子

展開：

滿足薛定諤方程的本徵函數

的形式為：

其中，

，

，

，都是函數。

與

時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，

。這樣，本徵函數

的形式變為：

參數為天頂角

、方位角

的球諧函數

，滿足角部分方程

其中，非負整數

是角動量的角量子數。m（滿足

）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的

與m給予不同的球諧函數解答

：

其中，i是虛數單位，

是伴隨勒讓德多項式，用方程定義為

而

是

階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一個一維的二階微分方程：

設定函數

。代入方程(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

徑向方程變為

其中，有效位勢

。

這正是函數為

，有效位勢為

的薛定諤方程。徑向距離r的定義域是從0到

。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。 ^[2]