有限深方形阱

一維有限深方形阱的阱寬為

，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為

與

。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為

。阱外位勢保持為

。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應着不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數

也不同，標記為：

：阱左邊，

（阱外區域），

：阱內，

（阱內區域），

：阱右邊，

（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛定諤方程：

其中，

是約化普朗克常數，

是粒子質量，

是粒子位置，

是位勢，

是能量。

在阱內，位勢

，方程簡化為：

設定波數

為

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數

是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

其中，

與

都是復值常數，由邊界條件而決定。

在阱外，位勢

，薛定諤方程為：

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。 ^[1] 

假若，粒子的能量小於位勢：

，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

代入方程：

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

其中，F，G，H，I都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數A，B，F，G，H，I的值。

薛定諤方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數

的形式為：

：阱左邊，

（阱外區域），

：阱內，

（阱內區域），

：阱右邊，

（阱外區域）。

當x趨向負無窮，包含F的項目趨向無窮。類似地，當x趨向無窮，包含{I的項目趨向無窮。可是，波函數在任何x都必須是有限值。因此，必須設定I=0。阱外區域的波函數變為

在阱左邊，隨着x越小，波函數

呈指數遞減。而在阱右邊，隨着x越大，波函數

呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於x=0，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

假若，波函數

是奇函數，則

由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

將波函數的公式代入：

可以得到：

可以求得常數

與波數

的關係：

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

這也造成了離散的能量。

假若，波函數

是偶函數，則

由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

將波函數的公式代入：

可以得到：

可以求得常數

與波數

的關係：

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

這也造成了離散的能量。 ^[2] 

假若，一個粒子的能量大於位勢，

，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，

，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於

的任意值。波數

，用方程表達為

，也不是離散量。代入方程：

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

其中，

、

、

、

，都是常數。 ^[2]