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無限深方形阱

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在物理學裏，無限深方形阱（infinite square potential），又稱為無限深位勢阱（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為無限深方形阱問題，又稱為無限深位勢阱問題，盒中粒子問題（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若，阱內有兩個粒子，則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。
中文名
無限深方形阱
外文名
Particle in a box
領    域
量子力學

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 一維阱
  3. ▪ 導引
  4. ▪ 啓發導引
  5. 3 二維阱
  6. 4 參閲

無限深方形阱簡介

在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的概率是均勻的。
在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛定諤方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛定諤方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為零點能量。這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。 [1] 
在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。
這問題的薛定諤方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。
無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：
  1. 能量量子化：表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是離散能級譜中的一個能級。
  2. 零點能量：粒子最小的允許能級，稱為零點能量，不是 0 。
  3. 波節點： 恰恰與經典力學相反，薛定諤方程預測會有波節的存在。這意味着在阱內某些地方，找到粒子的概率是零。
不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛定諤方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為。 [2] 

無限深方形阱一維阱

一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為L。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（x方向）。一維無限深方形阱的本徵函數
與本徵值
分別為
其中，
是正值的整數，h是普朗克常數，m是粒子質量。

無限深方形阱導引

一維不含時薛定諤方程可以表達為
其中，
是復值的、不含時間的波函數，V(x)是跟位置有關的位勢，E是正值的能量。
在阱內，位勢V(x)=0。一維不含時薛定諤方程約化為
這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數
與本徵值E是
其中，A與B是常數，可以是復值，k是實值的波數（因為E是正值的，所以，k必須是實數。）。
為了求得一般解
的常數A，B，與波數k的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的概率
越小。在x=0 ，x=L兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的概率是微乎其微：
。所以，邊界條件是
代入方程 (3a) 。在x=0，可以得到
在x=L，可以得到
方程 (6) 的一個簡易解是A=0。可是，這樣，波函數是
。這意味着一個不可能的物理答案：粒子不在阱內。所以，不能接受這簡易解。設定
，則
。那麼，必須要求
其中，整數n>0。
注意到n=0狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是
的物理答案：粒子不在阱內。
為了求得A值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：
常數A的值為
常數A可以是任何複數，只要絕對值等於{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{L}}}}；可是，這些不同值的A都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇{\displaystyle A={\sqrt {\frac {2}{L}}}}。
最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是
如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於
，最低的能級，稱為零點能量，大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置變異數有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0 ，粒子必須擁有能量。這能量隨着阱寬的減小而增加。
很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數坍縮，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量期望值。

無限深方形阱啓發導引

能量本徵值的公式可以啓發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味着，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：
其中，
是波長，n是正值的整數。
應用德布羅意假説，粒子的動量p是
代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。

無限深方形阱二維阱

一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在x與y方向，分別為
，
。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（x與y方向）。二維無限深方形阱的本徵函數
與本徵值
分別為
其中，
與
是正值的整數。 [3] 

無限深方形阱參閲

參考資料
  • 1.    Zory, Peter (1993). Quantum Well Lasers. San Diego: Academic Press Unlimited.
  • 2.    Overney, René M. "Quantum Confinement" (PDF). University of Washington. Retrieved 5 November 2016.
  • 3.    Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.