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泊松代數

數學中，泊松代數（Poisson algebra）是具有一個滿足萊布尼茲法則的李括號之結合代數；即括號也是導子。泊松代數自然出現於哈密頓力學，也是量子羣研究的中心。攜有一個泊松代數的流形也叫做泊松流形，辛流形與泊松-李羣是其特列。此代數的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

泊松代數定義

一個泊松代數是域K上一個向量空間裝備着兩個雙線性乘積，

與 { , }，滿足如下性質：^[1]

（1）乘積

構成一個K上結合代數；

（2）乘積 { , }，叫做泊松括號，構成李代數，從而反對稱並滿足雅可比恆等式。

（3）泊松括號是結合乘積

的導子，即對此代數中任何三個元素x，y與z，都有

。^[2]

最後一個性質通常保證了這個代數有其他給出表述，可見下面例子中所指出。

泊松代數出現於多種不同場合。

辛流形上實值光滑函數組成一個泊松代數。辛流形上每個實值函數H在此流形上產生一個向量場

，即哈密頓向量場。然後給定此辛流形上任何光滑函數 F與 G，它們的泊松括號 {,} 定義為

這個定義是一致的是因為此泊松括號是一個導子。等價地，可以將 {,} 定義為

這裏 [,] 是李導數。當辛流形是帶着標準辛結構的

，則泊松括號取如下熟知的形式

可對泊松流形進行類似的考慮，它允許辛雙向量在流形的某些位置消沒。

如果A是一個結合代數，則交換子 [x,y]≡xy−yx使它成為一個泊松代數。

是一個泊松代數，其中

而

。對某些定點算子代數，這個泊松代數是有限維的。

參考資料

1. Y. Kosmann-Schwarzbach, Poisson algebra, (編) Hazewinkel, Michiel, 數學百科全書, Springer, 2001
2. Masoud Khalkhali．Basic Noncommutative Geometry：歐洲數學會，2009

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