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正三稜錐
鎖定
正三稜錐性質
1. 底面是等邊三角形。
2. 側面是三個全等的等腰三角形。
4. 常構造以下四個直角三角形(見圖1):
(2)高、斜高、斜高射影構成的直角三角形;(含側面與底面夾角)
(3)高、側稜、側稜射影構成的直角三角形;(含側稜與底面夾角)
(4)斜高射影、側稜射影、底邊的一半構成的直角三角形。
説明:上述直角三角形集中了正三稜錐幾乎所有元素。在正三稜錐計算題中,常常取上述直角三角形。其實質是,不僅使空間問題平面化,而且使平面問題三角化,還使已知元素與未知元素集中於一個直角三角形中,利於解出。
正三稜錐相關計算
基本公式
h為底高(法線長度),A為底面面積,V為體積,L為斜高,C為稜錐底面周長有:三稜錐稜錐的側面展開圖是由4個三角形組成的,展開圖的面積,就是稜錐的側面積,則 :其中Si,i= 1,2為第i個側面的面積,S全=S稜錐側+S底S正三稜錐=1/2CL+S底V=1/3A 底面積*h
三稜錐體積公式證明
如圖2,這是一個一般的三稜柱ABC-A'B'C',它的體積可以分為三個等體積的三稜錐,即三稜錐C-A'AB,三稜錐C-A'B'B,三稜錐A'-CB'C'.因為三稜柱的側面A'ABB'是平行四邊形,所以△A'AB的面積=△A'BB'的面積,即其中三稜錐C-A'AB與三稜錐C-A'B'B的底面積相等,它們兩個的頂點都是C,即C到它們底面的距離都相等,所以三稜錐C-A'AB與三稜錐C-A'B'B的體積相等。而三稜錐C-A'B'B也可以看作是三稜錐A'-BCB',且三稜錐A'-CB'C'與三稜錐A'-BCB'的底面積相等(即△BCB'與△B'C'C的面積相等),且它們兩個的頂點都是A',即A'到它們底面的距離都相等,所以三稜錐A'-CB'C'與三稜錐A'-BCB'的體積也相等,故三稜錐C-A'AB,三稜錐C-A'B'B,三稜錐A'-CB'C'的體積都相等,由此可見,一個三稜柱的體積等於三個等體積的三稜錐體積之和,即V三稜錐=1/3S·h.2三稜錐公式
已知三稜錐稜長求其體積的體積公式。
內切球心在頂點與底面重心的連線的距底面1/4處
相關計算:
因為正四面體底面為正三角形,所以斜高線位於任意頂點與底邊中點連線,又三線合一,所以側面重心位於高線距頂點2/3處,即可算出頂點與重心(球與側面切點)的距離,又知正三稜錐邊長,即可根據勾股定理算出圓心所在直線(即頂點與底面重心的連線)的長度,即可算出底面與球心的距離(即內切球半徑)。
正四面體外接球心
外接球心在頂點與底面重心的連線的距頂點3/4處
相關計算:
和計算內切球心一樣算出圓心所在直線(即頂點與底面重心的連線)的長度,即可算出頂點與球心的距離(即外接球半徑)。
補充高考可能用到的數據(如圖3):
2、高為(a√6)/3
3、內切球半徑(a√6)/12
4、外接球半徑(a√6)/4