樊畿

樊畿的父親樊琦（1879—1947）曾在金華、温州等地的地方法院任職。樊八歲時隨父到金華，初中階段先後在金華中學、杭州宗文中學和温州中學就讀。他各科成績均優，唯不喜歡英文，原因是“討厭呆板地記憶生詞和不可理喻的文法”。1929年初中畢業時，考入不用英文的吳淞同濟附中。這是四年制高中，第一年專習德文。1932年的“一·二八事變”後，同濟附中不能開課，樊插班到金華中學讀高三，半年後就高中畢業了。

1932年秋，樊入北京大學數學系。他本想讀工科，但因姑父馮祖荀在北京大學任數學系主任，更由於北大不考英文，因此決定樊走上了數學道路。樊攻讀數學得心應手。二年級時，德國數學家E．施佩納（SPerner）來華講學，在北大講授“近世代數”，使用的教材是O．施賴埃爾（Schreier）和施佩納合著的德文原版《解析幾何與代數引論》（Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra）與《矩陣講義》（Vorlesungen uberMatrizen）兩書。樊聽完課之後，利用暑假將兩者譯出，合為《解析幾何與代數》，由馮祖荀作序並推薦給商務印書館。1935年，該書初版作為《大學叢書》之一發行。1960年在台灣印行了第七版。在大學生時期，樊還譯過E．蘭道（Landau）的《理想數論初步》（Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale），並與孫樹本合著《數論》，先後由商務印書館出版。

1936年，樊在北京大學畢業之後，留校任教。1938年下半年，由法國退回庚子賠款設立的中法教育基金會，招考數學、化學、生物三科各一名去法國留學。樊是數學科的被錄取者。1939年初啓程去巴黎。他本打算攻讀代數學，但在臨行前，程毓淮（北京大學）和蔣碩民（南開大學）兩教授建議他跟隨M．R．弗雷歇（Prechet）學習，指出“弗雷歇的分析和代數差不多”。對這一指點，樊終生感激。確實，作為泛函分析先驅學者的弗雷歇，曾發展一套抽象的分析結構，在當時崇尚函數論等“硬分析”的法國獨樹一幟。樊到巴黎之後，請曾來中國訪問的J．阿達瑪（Hadam-ard）給弗雷歇寫了一封介紹信，彼此漸漸熟悉，弗雷歇就成了樊的導師。

1941年，樊以“一般分析的幾個基本概念”的學位論文，獲得法國國家博士學位。當時第二次世界大戰正在進行，樊幸運地成為法國國家科學研究中心的研究人員，並且在龐加萊數學研究所從事數學研究。戰時的生活緊張而清苦，但研究工作不斷取得成果。到1945年大戰結束時，樊已發表論文20餘篇。他和弗雷歇合著的《組合拓撲學引論》（Introdution a la topologiecombinatoire）一書也於1946年刊行，以後又發行了英文版和西班牙文版。

樊在第二次世界大戰之後，轉往美國發展。1945—1947兩年，他是普林斯頓高級研究院的成員。當時，世界著名數學家雲集普林斯頓，其中包括戰前已來美國的H．外爾（Weyl）和J．馮·諾依曼（von Neumann）。樊後來的工作深受他們的影響，學術上也有更大的進展。

1947年之後，樊去聖母大學任教，從助教授、副教授，到教授。1960年曾到底特律城的韋恩州立大學任教一年，隨即轉到芝加哥附近的西北大學，直至1965年應聘為加州大學聖巴巴拉分校數學教授。

1964年，台北中央研究院推選樊為院士。1978—1984年1745 間，他曾連任兩屆該院的數學研究所所長。他還曾任德克薩斯大學（奧斯丁）、漢堡大學、巴黎第九大學及意大利的卑魯加（Perugia）大學的訪問教授。從1960年起，擔任《數學分析及其應用》（Journal of Mathematical Analysis and its Application）的編輯委員共32年。他還是《線性代數及其應用》（Linear Algebraand its Application）的傑出編輯，1993年又被聘為荷蘭的《集值分析》（Set Valued Analysis）和波蘭的《非線性分析中的拓撲方法》 （Topological Methods in Nonlinear Analysis）的編輯委員。

1985年夏，樊正式退休。數學界為他舉行了盛大的學術活動，世界各地的許多數學家前來參加。加州大學聖巴巴拉分校宣佈成立樊助理教授（Ky Fan Assistant ProfessorshiP）職位。這次為樊榮譽退休而舉行的學術會議論文集，題為《為樊舉行的會議錄：非線性分析和凸分析》（Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan）。其中收錄了樊到那時的全部論文目錄。

樊退休之後，繼續擔任雜誌編輯，且仍有著作問世。1989年，他應邀訪問香港中文大學，是該校聯合學院的傑出訪問學者。1990年5月，巴黎第九大學授予樊名譽博士學位。1990年，他曾出席矩陣論方面的會議，應邀作宴會後演講。1992年5月，應邀訪問波蘭。1993年到東京參加“非線性分析與凸分析”會議，是該會的四名學術委員之一。

樊從1947年離開大陸之後，長期沒有機會返回故土。1981年，他已準備好大陸之行，臨時因手術而取消。1988年南開大學召開不動點理論會議，也因健康原因未能與會。1989年5月，樊應北京師範大學之邀回到闊別50多年的北京，講學兩週之後，又去北京大學、中國科學院數學研究所、武漢大學、浙江大學、杭州大學等校演講。訪問期間被聘為北京大學和北京師範大學的名譽教授。樊已將40餘年收藏的數學書籍和雜誌，除少量自己常用之外，全部捐獻給母校北京大學。1993年5月，當杭州大學為紀念陳建功教授誕生100週年舉行函數論國際討論會時，樊再次回國講學訪問。

樊畿教授於2010年3月22日在美國聖塔芭芭拉市的家中仙逝享年95歲。

先生的逝世引起了美國乃至全世界科學界的震動。全球最具權威性與影響力的數學專業學術組織“美國數學學會（AMS）”在其網站上發佈了先生的生平，公告先生的離世，並連續刊登緬懷先生重大數學貢獻的專題文章。 樊畿師生前曾經執教20年的聖塔芭芭拉加州大學（UCSB）在3月24日那一天，特地為先生降了半旗。中國數學會與樊畿師的母校北京大學也為先生舉辦了隆重的紀念活動。2010年即將在日本召開的“第七次國際非線性與凸分析會議”，特別以紀念樊畿師為主題；隨後，專業學報《非線性與凸分析》還要出版紀念專刊 ^[2]  。

在國際上，樊畿與華羅庚、陳省身齊名，都是真正的華人之光。 ^[1]  樊畿的學術成就是多方面的。從線性分析到非線性分析，從有限維空間到無限維空間，從純粹數學到應用數學，都留下了他的科學業績。以樊的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常見於各種數學文獻。他在非線性分析、不動點理論、凸分析、集值分析、數理經濟學、對策論、線性算子理論及矩陣論等方面的貢獻，已成為許多當代論著的出發點和一些分支的基石。

樊在40年代初的法國，主要是隨弗雷歇學習和研究抽象空間的分析學理論。他最早發表的幾篇論文都有關弗雷歇空間（完備的線性序列空間）上取值於線性拓撲空間的抽象函數。博士論文是這些工作的總結。其主要內容有：（1）在一類可分弗雷歇空間上的抽象值函數可用廣義的抽象值多項式加以逼近。（2）這類函數的阿達瑪（Hadamard）微分。（3）抽象拓撲空間的弗雷歇維數。（4）抽象空間上曲線，特別是和線段、直線、圓周拓撲同胚的點集的拓撲特徵。樊還將這些抽象函數的結果用於概率論中的極限定理。

希爾伯特空間上的線性全連續算子源於積分方程論的需要。因此，研究全連續算子A的特徵值和奇異值（即A*A的特徵值的平方根）就是重要的工作。設 A，B是兩個希爾伯特空間上的全連續算子，Sk(A)表示A的第K個奇異值，則有

這些不等式都可解釋為用有限維算子逼近無限維空間全連續算子時的性態。奇異值後來有許多推廣，如S函數（其特例有逼近數、蓋爾範德數、柯爾莫戈洛夫數等），而後S函數正是由上述兩個不等式以及奇異值的其他基本性質作為條件的。關於特徵值，樊有如下的結果：設A是如上的自共軛全連續算子，λ1≥λ2≥…≥λn是前n個最大的特徵值，則

這裏的Max是對所有的n個標準正交向量（x1，x2，…，xn）而取的。這一結果成為特徵值理論和奇異值的變分特徵化的重要基礎。

大數學家外爾和馮·諾依曼在奇異值方面的工作，曾由樊加以推廣：

設A1，A2，…，An是希爾伯特空間H上的全連續算子，則有

其中Max是對一切標準正交向量組（x1，x2，…，xn）和任意的酉算子組U1，U2，…，Um而取，Si(A)表示第i個奇異值。當m=2，H的維數恰為n時，則第一個等式是馮·諾依曼的結果，而當m=1時，上面的第二個等式包括外爾的不等式。此外，樊還給出一個奇異值的=0，則有

綜上所述，樊對全連續算子譜論研究有重大貢獻，後來的算子理想理論多借鑑於此。J．迪厄多內（Dieudonne）將樊列為算子譜論的主要貢獻者之一。

不動點定理是20世紀非線性數學發展中的一個核心課題。所謂映射F的不動點x，是指F(x)=x成立。顯然，求方程f(x)=0的根，等價於求F(x)=f(x)+x的不動點。拓撲學家L．E．J．布勞威爾（Brouwer）在1912年提出了第一個不動點定理：n維歐氏空間中，將實心球（或緊凸集）映到自身的連續映射至少有一個不動點。以後J．P．肖德爾（Schauder）和A．H．吉洪諾夫分別將它推廣到巴拿赫空間和局部凸空間。另一方面，角谷靜夫（Kakutani）在n維歐氏空間情形證明了集值映射的不動點定理。1952年，樊和I．L．格里科斯伯格（GliCk_sberg）獨立地將角谷靜夫定理推廣到局部凸空間情形。這是近來發展極為迅猛的集值分析的經典結果，其基本內容是：

設X是局部凸線性拓撲空間，C是X中非空的凸緊集，T將C內每點x映為C中的非空閉凸子集合T(x)，且T是上半連續的，則必存在一點x∈T(x)．

這種集值映射的重要背景乃是極大極小原理（minimax Prin－ciple）．馮·諾依曼在建立對策論時，曾研究下列方程：

樊利用前述集值映射的不動點定理，得到如下的馮·諾依曼-樊-塞恩（Sion）定理：

設X，Y是兩個局部凸線性拓撲空間，A，B分別是X，Y中的非空緊凸集，f是A×B上的二元實函數，使得對每個y∈B，f(x，y)在A上是下半連續的凸函數，對每個x∈A，f(x，y)在B上是上半連續的凹函數，則有

另外，在1953年的文獻中，證明了第一個不涉及線性結構的極大極小定理，它在許多數學分支（勢論、優化的對偶理論、函數代數、調和分析、算子的理想、弱緊性等）都有應用。

樊在不動點理論研究中保持着領先水平，非線性分析的教科書和著作中，都能找到以樊的名字命名的定理、引理、不等式，其中敍述較詳的有文獻。

1972年，樊發表的論文“一個極大極小不等式及其應用”，曾使非線性分析的若干基本原理髮生重要變化。這個不等式是：

設K是線性拓撲空間中的緊凸集，F是K×K上的二元實函數，滿足以下三條件

（1）對每個固定的y∈K，F(x，y)是x的下半連續函數；

（2）對每個固定的x∈K，F(x，y)是y的凹函數；

（3）對每個y∈K，F(y，y)≤0；

則必有

這個不等式的表達不算非常簡潔，並可證明它和原始的布勞威爾不動點定理等價。然而，它在證明非線性分析的大量基本定理時，卻非常方便，尤其是一個處理對策論和數理經濟學基礎問題的有效和通用的工具。法國的J-P奧賓（Aubin）和I．埃克蘭德（Ekeland）在他們的一系列非線性分析著作裏，都把上述的樊不等式放在中心位置。德國的E．柴德勒（Zeidler）曾將不動點定理和極大極小不等式畫成一張表，樊不等式處於重要地位。此外，這個不等式在微分方程、不定度規空間理論、勢論諸方面均有應用。

第二次世界大戰後迅速發展起來的線性規劃理論，實際上相當於求解一個在凸集上有定義的線性不等式組．在無限維空間情形，也就是超平面分離凸集問題。樊憑藉堅實的泛函分析功夫，對此作了重大改進。經常被引用的有樊條件（Ky Fan consrst-ency condition）：

設F1，F2，…，Fn是任意維的實線性空間X上的線性泛函，C1，C2，…，Cn是一組實數。則存在x∈X，能同時滿足

F1(x)≥C1，F2(x)≥C2，…，Fn(x)≥Cn

an，均有

這一相容性定理，可用於直接證明線性規劃的對偶定理等，成為線性規劃論的一塊基石。另外，它還能簡單地導出許多著名的不等式，例如哈代（Hardy）-李特爾伍德（Littlewood）-波利亞（Polya）關於優化（majorization）的不等式。

樊和格里科斯伯格，以及A．J．霍夫曼（Hoffman）合作，完成了凸分析和非線性分析的一個基本定理。

設X是任意維實線性空間的一個凸子集，f1，f2，…，fn是X上的實值凸函數。如果聯立不等式組fi(x)＜0(i=1，2，…，m)無解，那麼必有一組不同時為零的非負實數p1，p2，…，pm，使得對一切x∈X，都有

樊所發表的124篇論文，涉及的學科很廣，以下是一個不完全的列舉。

主要涉及矩陣的範數、特徵值、不等式以及非負矩陣、M矩陣等。M矩陣大量出現於橢圓型方程的數值解法和線性方程組的迭代解法之中。許多著作中有樊優勢定理(dominance theorem)、樊乘積、樊k範數等。

樊運用不動點定理，得到一個不定度規空間上線性算子的不變子空間的存在性定理。由它可以得出著名的龐特里亞金（Pontryajin）-約赫維道夫（Iohvidov）-克萊因（Krien）定理。1965年，樊又把它推廣到一族算子（構成左順從半羣）的公共不變子空間的情形。

A．W．吐克（Tuker）在1945年給出一個組合引理，目的是用來代替代數拓撲方法，給予著名的博蘇克烏拉姆（Borsuk－Ulam）對映點定理和劉斯鐵爾尼克-博蘇克（Lustern-ik-Borsuk）對映點定理比較簡易的證明。樊在1952年將吐克引理加強，得到一些新的對映點定理。30年後又用他的對映點定理證明了另一個組合定理，比著名的耐瑟（Kneser）-洛瓦茲（Lovasz）-貝拉內（Baraney）定理更強。此外，樊的論文與計算不動點及拓撲度問題密切相關，他所使用的“配對過程”(Pai-ring process)方法及“一門進，一門出”（door in，door out）原理被廣泛採用。

樊於1970年發表的論文，討論了局部緊交換羣的局部連通性，並用對偶羣加以刻畫，這是龐特里雅金關於緊交換羣局部連通性的定理的推廣。

1982年之後，樊連續發表文章，討論線性算子值的解析函數及其迭代性質、幅角導數等，將複分析中的經典定理推廣到線性算子值情形，現已形成一個研究方向。

樊的學術成就具有廣泛的國際聲譽，特別是由於他的工作多半涉及一些數學學科的基礎核心，所以常被列為基本文獻和寫入教科書，有些已成經典性成果。他的論著從任何角度看都是純數學的，條件自然，結論簡潔，論證優美。但是這些純數學結論又有極廣泛的應用，尤對數理經濟學的發展促進很大。例如，諾貝爾經濟學獎獲得者G．德布勒（Debreu）等創立的數理經濟學基本定理就可由樊的極大極小不等式直接導出。因此，樊研究工作體現了純粹數學和應用數學的統一。

樊一共指導了22名博士研究生。他的知識面很寬，可以不斷地指導研究生選擇更新的研究方向。有幾位研究生就是以代數拓撲和微分拓撲的工作而成名的。樊早先到普林斯頓高級研究院，是由M．莫爾斯（Morse）安排的，後來也經常聯繫。他曾推薦自己的研究生W．胡伯舒（Huebsch）給莫爾斯做助教，後來他們合寫了許多論文。他在教學上的一絲不苟也是出了名的。愛荷華大學的林伯祿説：“樊師做學問和上課同樣認真，從不浪費一分一秒。黑板上的字也是一字不多一字不少。他還有許多一流的講義，可惜他不肯發表。”

樊能説多種語言。但他自嘲説：“我的英文中有法國口音，講法文時有德國口音，而講德語時則有中國口音。”他説他學外語的目的只是為了看數學書，所以不大注意發音。

樊待人寬厚，助人為樂。他常説：“為人作事，必須對別人有幫助，自己才會快樂。”最終解決比貝爾巴赫（Bieberbaoh）猜想的L．德·勃蘭治（de Brange），在成名前曾受冷落，而樊一直對他熱情鼓勵，他的許多論文都經樊推薦而發表。

樊和夫人燕又芬住在美國加州聖巴巴拉的一座小山上，山下是大海，風景如畫。在回首往事時，樊一直牽記着引導他走上數學道路的馮祖荀先生。1989年曾去位於北京八大處福田公墓的馮祖荀墓前憑弔。1993年再度回京時，重修馮先生墓，並請蘇步青重題墓碑。