不動點理論

確定映射在某條件下存在不動點的定理稱為不動點定理。

各種不動點定理構成不動點理論的基本內容。 ^[1] 

設X是一個完備的度量空間，映射ƒ:Χ→Χ 把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d(ƒ(x),ƒ(y))≤λd(x,y)，這裏λ是一個小於1的常數，那麼ƒ必有而且只有一個不動點,而且從Χ的任何點x₀出發作出序列x₁=ƒ(x₀)，x₂=ƒ(x₁),...,x_n=ƒ(x_n-1)...，這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。

由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴展映射、概率度量空間、映射族、集值映射等許多方面。

(1910年)

設Χ是歐氏空間中的緊凸集,那麼Χ到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復係數的代數方程一定有複數解。

把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。

設C是Rⁿ中的緊凸集, f為從C到C的非空凸子集的上半連續的點-集映射，則至少存在一點x*, 使得x*∈f(x*)。1941年，Kakutani把Brouwer不動點定理推廣到有限維空間中多值映射的情形。

不動點的個數有兩種數法。代數上通常説n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的;如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於映射在不動點附近的局部幾何性質。一個映射的所有不動點的指數的總和，稱為這映射的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理:設Χ是緊多面體,ƒ:Χ→Χ是映射,那麼ƒ的不動點代數個數等於ƒ的萊夫謝茨數L(ƒ)，它是一個容易計算的同倫不變量，可以利用同調羣以簡單的公式寫出。當L(ƒ)≠0時，與ƒ同倫的每個映射都至少有一個不動點。

這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的歐拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾參數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。

J.尼爾斯1927年發現，一個映射ƒ 的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變量。指數和不為0的不動點類的個數,稱為這映射的尼爾斯數N(ƒ)。只要Χ是維數大於2的流形，N(ƒ)恰是與 ƒ同倫的映射的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。

萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型算子與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。

利用Brouwer不動點定理和Kakutani不動點定理，嚴格證明了Walras經濟的一般均衡的存在性和最優性，使得經濟學形成了一個統一的方法論和分析框架。