擬合曲線

對於平面上給定的點

，要尋找y與x之間的近似函數關係

，插值法要求曲線

準確通過每個給定點

；而m較大時無論是高次插值還是分段低次插值都將很複雜，數據

一般是由實驗觀測得到的，總會帶有觀測誤差，刻意要求

並不能反映真實的函數關係，反而會引起

的波動加劇，因此用

近似描述已知數據

，不必要求在每個點

處，誤差

，都為0，只需在所有點處的某種總體誤差最小即可，這就是所謂的曲線擬合問題，亦稱為離散函數最佳平方逼近問題。

設給定基函數

，我們在集合

中尋求形如

的函數，使其近似已知數據。

定義1 對給定的數據

，若

使得

則稱

為曲線族

中的最小二乘擬合曲線，並稱

為均方誤差。

要確定擬合曲線(1)中的待定係數

，由(2)式知，就是求多元函數

的最小值點(

)，由多元函數取極值的必要條件，有

從而有

這是n+1個方程、n+1個未知數的線性方程組，藉助矩陣運算，可寫成如下矩陣形式：

其中，

而

方程組(3)稱為法方程組，設

線性無關(且滿足Haar條件)，則行列式

，線性方程組(3)存在唯一的一組解。

若取基函數

，法方程的係數矩陣顯然非奇異，此時一般稱為多項式擬合，求解法方程組，得到擬合係數

從而得到

再由多元函數取極值的充分條件可證明，這樣求出的

確實是方程組(2)的解，即

為最小二乘擬合曲線。

以上討論的都是線性最小二乘擬合問題，即擬合曲線

，也就是

是基函數

的線性組合，有些問題雖然數學模型不是線性模型，但通過變換可化為線性模型，則上述最小二乘擬合方法仍然可用。

選取擬合函數為指數函數

為待定常數，

這是一個關於

的非線性模型，現通過適當變換將其化為線性模型，為此對

兩邊取對數，有

令

於是

這是一個關於

的線性模型，原來的已知數據

經取對數後變成一組新數據

，這裏

對這組新數據，求形如

的擬合曲線。

取基函數

則由(3)式可得法方程組，求解出

後即得到擬合曲線

，從而得到

選取擬合函數為冪函數

為待定常數，

這也是關於

的非線性模型．兩邊取對數，同樣可將其化為線性模型，即

令

則擬合曲線為

這時基函數為

將原數據

中的

取對數，得新數據

其中

對此新數據，用

擬合即可。

雙曲型

也是關於

的非線性擬合模型，作變形

令

，則擬合曲線為

化成了關於

的線性擬合模型，這時新數據為

，其中

。基函數為

由法方程組(3)即可求出擬合曲線

進而求出擬合曲線

。 ^[2]