拉普拉斯定律

拉普拉斯（Laplace）定律 P=2T/r 。 P 代表肺泡回縮力，T代表表面張力，r代表肺泡半徑。肺回縮力與表面張力成正比，與肺泡的半徑成反比。

Ⅱ型肺泡上皮細胞合成和釋放肺泡表面活性物質（alveolar surfactant），然後分佈於肺泡的內襯層的液膜，能隨着肺泡的張縮而改變其分佈濃度，用來減少肺泡表面張力。表面張力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易萎縮，不利於肺的穩定。

拉普拉斯定律，是工程數學中常用的一種積分定律。它是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。

拉氏變換在大部分的應用中都是雙射的，最常見的{\displaystyle f(t)}和{\displaystyle F(s)}組合常印製成表，方便查閲。拉普拉斯變換得名自法國天文學家暨數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在概率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅里葉變換有關，不過傅里葉變換將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個函數表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統，可用來分析電子電路、諧振子、光學儀器及機械設備。在這些分析中，拉氏變換可以作時域和頻域之間的轉換，在時域中輸入和輸出都是時間的函數，在頻域中輸入和輸出則是復變角頻率的函數，單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統，拉氏變換提供另一種系統的描述方程，可以簡化分析系統行為的時間。像時域下的線性非時變系統，在頻域下會轉換為代數方程，在時域下的卷積會變成頻域下的乘法。

為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s=σ+j&owega；的一個函數，其中σ和&owega; 均為實變數，j2=-1。F(s)和f(t)間的關係由下面定義的積分所確定：

如果對於實部σ >σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂係數。對給定的實變量函數 f(t)，只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上，常稱F(s)為f(t)的象函數，記為F(s)=L[f(t)]；稱f(t)為F(s)的原函數，記為f(t)=L-1[F(s)]。

函數變換對和運算變換性質 　利用定義積分，很容易建立起原函數 f(t)和象函數 F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在複數域內的運算間的對應關係。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。

拉普拉斯變化的存在性：為使F(s)存在，積分式必須收斂。有如下定理：

如因果函數f(t)滿足：（1）在有限區間可積，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t→∞時的極限為0，則對於所有σ大於σ0，拉普拉斯積分式絕對且一致收斂。

法國數學家、天文學家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學和物理學。他認為數學只是一種解決問題的工具，但在運用數學時創造和發展了許多新的數學方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結了當時整個概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調查、氣象等方面的應用，並導入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導致了後來海維塞德發現運算微積分在電工理論中的應用 ^[1]  。

有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，

在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。

應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。