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弧度

鎖定
弧度,舊稱 [3] 數學物理中,弧度是的度量單位。它是由國際單位制導出的單位,單位縮寫是rad。弧度是指在一個圓中,弧長和半徑之比,即|弧度|=弧長÷半徑
中文名
弧度
外文名
radian
rad
所屬學科
數學
別    名
[3] 
公式1
|弧度|=弧長÷半徑
公式2
|弧度|=弧長÷直徑×2

弧度定義

用弧長和半徑之比度量圓心角的單位。弧長等於半徑的弧,其所對的圓心角為1弧度,即兩條射線圓心圓周射出,形成一個夾角和夾角正對的一段。當這段弧長正好等於圓的半徑時,兩條射線的夾角的弧度為1。 [3-4] 

弧度單位由來

古巴比倫人對圓周的劃分,在一定程度上影響了古希臘天文學。在古希臘時期“地心説”十分流行,人們認為太陽繞着地球圓周運動,因此產生了許多圓形軌道的計算問題,進一步地,人們就想知道已知弧長如何求對應弦長這類三角學問題,為此古希臘人希帕科斯(公元前190-120)首次繪製了弦表,又如克羅狄斯·托勒密的著作《大成》中也有類似弦表,這使得弦表的思想為人所熟知,這也即為三角學的開端。 [2] 
地心説:克羅狄斯·托勒密與希帕科斯
古希臘人通過弦表也發現了弧長與弦長的一一對應關係,這即是最早的三角函數。只不過古希臘人還沒有形成“函數”的概念,他們在不知不覺中使用弧長作為三角函數的自變量,並且為了單位的統一,他們沿用了古巴比倫人的六十進制,將弧長的度量也用六十進制表示。 [4]  [8] 
弧長與弦長
實際上,這就是弧度的雛形,“弧長弦長的對應關係”可以進一步轉化為“角的大小與弦長的對應關係”,由於用弧長作為自變量時需要給定的半徑,而用弧度(的大小)作為自變量則無需給定半徑,避免了換算的繁複。 [1] 

弧度相關計算

根據定義(
),一週的弧度數為
,360°角=2π弧度,因此,1弧度為(
)°,近似值為57.3°,即57°17'44.806'',1°為
弧度,近似值為0.01745弧度,周角為2π弧度,平角(即180°角)為π弧度,直角(即90°角)為
弧度。 [4]  [8] 
在具體計算中,角度以弧度給出時,通常不寫弧度單位,直接寫值。最典型的例子是三角函數,如
[7] 
在初中數學中,圓弧長公式
,在這裏n就是角度數,即圓心角n所對應的弧長。 [5] 
但利用弧度,以上的式子將會變得更簡單:(注意,弧度有正負之分)
,即α的大小與半徑之積。
同樣,簡化扇形面積公式:
(二分之一倍的α角的大小,與半徑的平方之積,從中看出,當
,即周角時,公式變成了
圓面積的公式。) [6] 
在 Windows 操作系統附帶的計算器程序(電腦左下角的開始→程序→附件→計算器)的科學計算法裏,可以調用弧度來進行計算

弧度特殊值

角度和弧度的換算關係
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
0
以上參考資料 [4]  [8] 
參考資料
  • 1.    李忠.為什麼要使用弧度制[J].數學通報,2009,48(11):1-3+7.
  • 2.    江灼豪,何小亞.弧度制發展的歷史溯源[J].數學通報, 2016, 55(7):4.DOI:10.3969/j.issn.0583-1458.2016.07.005.
  • 3.    弧度  .百度漢語[引用日期2023-07-16]
  • 4.    魏誠.淺談角度制與弧度制[J].青少年日記:教育教學研究, 2019.
  • 5.    朱哲. "數學公式的教學應關注公式的來龍去脈——以"扇形面積公式"的教學為例." 中學數學雜誌:初中版 3(2011):3.
  • 6.    有四普.扇形面積公式與三角形面積公式的內在聯繫[J].中學數學研究(華南師範大學):下半月, 2022(2):48-48.
  • 7.    羅靜,江灼豪.高中數學弧度制探究式教學設計[J].新課程研究, 2021(17):3.
  • 8.    孫洋.角度制與弧度制[J].新世紀智能, 2019(13):2.