局部環

設

為交換幺環。若

僅有一個極大理想

，則稱

（或

）為局部環。域

稱為

的剩餘域。 ^[3] 

若

中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環

上帶有一個自然的

-進拓撲，使得

成為拓撲環；其開集由

生成。當

為諾特環時，可證明

為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設

為局部環，環同態

被稱為局部同態，當且僅當

。 ^[1] 

除了交換幺環R本身以外，R的所有理想均包含於其唯一的極大理想。 ^[3] 

1.域是局部環。

2.設K[x]為域上多項式環，則K[x]/(x²)為局部環。 ^[4] 

3.域上形式冪級數環

是局部環，其中

是個域。極大理想是

。

取係數在

或

上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。

凡賦值環皆為局部環。

設

為交換幺環，

為其素理想，

為乘性子集，則相應的局部化

是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若

已是局部環，則

。

局部環的商環仍是局部環。 ^[2] 

設V為不可約仿射簇，則V在點P的局部環為

其極大理想為 ^[5] 

局部環意在描述一個點附近的函數芽。設

為拓撲空間，

或

，且

。考慮所有資料

，其中

是

的一個開鄰域，而

是連續函數。引入等價關係：

且

是

的開鄰域。

換言之，若兩個函數在

附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環

，其元素稱作在

的連續函數芽，它體現了連續函數在

附近的行為。若

滿足

，則存在一個

的開鄰域

及連續函數

，使得

且

恆非零，因此可定義乘法逆元

。於是

是局部環，其唯一的極大理想是所有在

點取零的函數，剩餘域則是

。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與復幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。 ^[2] 

一個含麼環

被稱作局部環，當且僅當它滿足下述等價條件：

R 僅有一個極大左理想。

R 僅有一個極大右理想。

，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。

，且對任何元素

或

必有一者可逆。

，若

中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。 ^[2]