大學文科數學

本書是為高等院校文科專業編寫的數學教材. 全書內容分為三部分,其中第一、第二部分為必學內容,第三部分為課外閲讀內容.第一部分微積分學包括函數、極限、連續、導數和微分、不定積分、定積分和微分方程; ^[1] 

第二部分包括線性代數、概率統計和數學建模3個內容;第三部分數學概覽主要包括現代數學雜談、數學與社會科學和數學常識. 本書根據數學在文科專業中的地位,在內容選材、組織、結構方面充分考慮到文科學生的實際情況,不僅向讀者介紹文科學生需要了解的數學基礎知識,通過數學概覽也介紹了數學基本常識、數學思想、數 ^[1] 

緒論1

第一部分微積分學

第1章 函數極限連續6

1.1 函數6

1.2 數列極限與函數極限7

1.2.1 數列極限7

1.2.2 函數的極限9

1.3 無窮小量與無窮大量10

1.3.1 無窮小量10

1.3.2 無窮大量12

1.4 極限的四則運算12

1.5 兩個重要極限13

1.6 函數的連續性14

1.6.1 函數的連續性14

1.6.2 函數的間斷點16

1.7 極限的精確定義,再論極限16

習題一17

第2章 導數、微分及其應用20

2.1 問題的提出20

2.2 導數的概念22

2.2.1 導數定義22

2.2.2 用導數定義計算基本初等函數的導數24

2.2.3 導數的幾何意義25

2.2.4 函數的可導性與連續性的關係25

2.3 導數的基本公式與運算法則26

2.3.1 導數基本公式26

2.3.2 導數的四則運算法則27

2.3.3 複合函數的求導法則28

2.3.4 隱函數求導29

2.4 導數的應用30

2.4.1 微分中值定理30

2.4.2 洛必達法則——求極限的高等方法30

2.4.3 函數的增減性33

2.4.4 函數的最大值與最小值及其在經濟問題中的應用34

2.5 微分38

2.5.1 微分的概念38

2.5.2 微分的幾何意義39

2.5.3 微分在近似計算中的應用39

習題二40

第3章 不定積分與定積分42

3.1 原函數與不定積分42

3.1.1 原函數的概念42

3.1.2 不定積分43

3.1.3 不定積分的幾何意義43

3.1.4 不定積分的性質43

3.1.5 基本積分公式44

3.1.6 直接積分法舉例45

3.2 換元積分法與分部積分法46

3.2.1 第一換元積分法46

3.2.2 分部積分法47

3.3 定積分及其幾何應用47

3.3.1 定積分的概念48

3.3.2 定積分的基本性質50

3.3.3 微積分基本定理51

3.3.4 定積分幾何應用52

3.3.5 廣義積分簡介54

習題三55

第4章 微分方程簡介57

4.1 常微分方程的基本概念57

4.2 可分離變量的常微分方程58

4.3 一階線性微分方程59

4.4 二階常係數齊次線性微分方程61

4.5 常數項級數及其收斂性62

4.5.1 常數項級數的基本概念62

4.5.2 收斂級數的性質64

4.5.3 常數項級數的審斂法65

4.6 冪級數68

4.7 冪級數的簡單應用70

習題四72

第二部分 線性代數概率統計數學建模

第5章 線性代數74

5.1 行列式74

5.1.1 二階、三階行列式74

5.1.2 n階行列式77

5.1.3 行列式的性質81

5.1.4 行列式的計算83

5.2 矩陣84

5.2.1 矩陣的概念84

5.2.2 矩陣的運算86

5.2.3 逆陣90

5.2.4 矩陣的初等變換91

5.3 線性方程組93

5.3.1 線性方程組及其解法93

5.3.2 非齊次線性方程組有解的判定95

5.3.3 齊次線性方程組的解法97

習題五99

第6章 概率統計初步101

6.1 事件與概率101

6.1.1 隨機事件101

6.1.2 事件的概率104

6.2 概率的運算105

6.2.1 概率的加法公式105

6.2.2 概率的乘法公式106

6.2.3 全概率與貝葉斯公式107

6.3 隨機變量及其分佈108

6.3.1 隨機變量的概念108

6.3.2 隨機變量的類型109

6.4 隨機變量的數字特徵113

6.4.1 實例113

6.4.2 數學期望113

6.4.3 方差114

6.4.4 均方差115

6.4.5 二項分佈的數學期望與方差115

6.4.6 正態分佈的數學期望和方差115

6.5 數理統計思想簡介115

6.5.1 數據收集問題116

6.5.2 假設檢驗問題117

6.5.3 藥效問題117

習題六118

第7章 數學建模簡介121

7.1 數學建模與大學生數學建模競賽121

7.1.1 什麼是數學模型121

7.1.2 什麼是數學建模121

7.1.3 數學建模興起的背景123

7.1.4 大學生數學建模競賽124

7.2 簡單數學模型賞析124

7.2.1 人口問題124

7.2.2 最優價格問題126

7.2.3 耐用消費品的選購問題126

7.3 線性規劃模型舉例128

第三部分 數學概覽(選讀)

第8章 現代數學雜談133

8.1 現代數學發展的特點133

8.2 數學的公理化及其意義136

8.2.1 數學公理化的背景136

8.2.2 數學公理化的條件137

8.2.3 數學公理化的意義137

8.3 數學與其他學科結緣138

第9章 數學與社會科學141

9.1 數學與哲學141

9.1.1 模糊數學中的哲學142

9.1.2 數列極限概念中的哲學143

9.1.3 集合與元素144

9.2 數學中的美144

9.2.1 數學中的抽象美145

9.2.2 數學的和諧美147

9.2.3 數學的奇異美148

9.3 數學中的人文思想150

9.3.1 羣150

9.3.2 矩陣的特徵值與特徵向量151

9.3.3 關係152

第10章 數學常識153

10.1 數學分支簡介153

10.1.1 數論153

10.1.2 拓撲學154

10.1.3 計算數學與數學軟件155

10.1.4 複變函數論156

10.1.5 模糊數學157

10.1.6 運籌學158

10.2 各類數學獎介紹159

10.2.1 國際數學獎159

10.2.2 國內數學獎160

10.3 三次數學危機簡介161

10.4 數學家軼事163

10.4.1 為愛情獻身的偉大數學家——伽羅瓦(1811-1832)163

10.4.2 淡泊名利的當代數學家隱士——格里戈裏·佩雷爾曼164

10.4.3 當代數學天才——神童陶哲軒165

10.4.4 密碼專家——女數學家王小云166

10.4.5 中國金融數學的奠基人——彭實戈167

10.5 趣味數學問題168

10.5.1 數學中的寶塔——貴在創新168

10.5.2 油漆匠悖論170

10.5.3 瓜分賭注171

10.5.4 蒙特霍耳(MontyHall)問題171

附錄A 習題答案與提示173

附錄B 標準正態分佈數值表179

參考文獻180 ^[1]