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取模運算
鎖定
取模運算是求兩個數相除的餘數。
[1]
- 中文名
- 取模運算
- 公 式
- n = kp + r
- 求整數商
- c = [a/b]
- 計算模
- r = a - c*b
取模運算區別於取餘運算
對於整型數a，b來説，取模運算或者求餘運算的方法都是：
1.求整數商： c = [a/b];
2.計算模或者餘數： r = a - c*b.
例1.計算：-7 Mod 4
那麼：a = -7；b = 4；
第一步：求整數商c：
①進行求模運算時：c = [a/b] = -7 / 4 = -2（向負無窮方向舍入），
②進行求餘運算時：c = [a/b] = -7 / 4 = -1（向0方向舍入）；
第二步：計算模和餘數的公式相同，但因c的值不同，
①求模時：r = a - c*b =-7 - (-2)*4 = 1，
②求餘時：r = a - c*b = -7 - (-1)*4 =-3。
例2.計算：7 Mod 4
那麼：a = 7；b = 4
第一步：求整數商c：
①進行求模運算c = [a/b] = 7 / 4 = 1
②進行求餘運算c = [a/b] = 7 / 4 = 1
第二步：計算模和餘數的公式相同
①求模時：r = a - c*b =7 - (1)*4 = 3，
②求餘時：r = a - c*b = 7 - (1)*4 =3。
歸納：當a和b正負號一致時，求模運算和求餘運算所得的c的值一致，因此結果一致。
當正負號不一致時，結果不一樣。
另外各個環境下%運算符的含義不同，比如c/c++，java 為取餘，而python則為取模。
補充：
7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1＜2，取商=1）
-7 mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2＜-1，取商=-2）
7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2＜-1，取商=-2）
-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1＜2，取商=1）
這裏模是4，取模其實全稱應該是取模數的餘數，或取模餘。
增加補充內容（以上五行）後，被修改商值，但是括號內容不變，出現奇怪矛盾。
在python下 % 運算符代表取模，如要修改，請先用python做
-7 % 4
運算，或其它語言做取模運算驗證，理解後再動手。
取模運算概念
取模運算定義
給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式 ：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整數，且 0 ≤ r ＜ p，則稱 k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的餘數。
對於正整數 p 和整數 a,b，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。
模p加法： ，其結果是a+b算術和除以p的餘數。
模p減法： ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。
模p乘法： ，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。
説明：
1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
取模運算基本性質
- 若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
- (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
- 對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
- 傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)
取模運算運算規則
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
- (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
- (a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
- (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
- a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
- 結合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
- 交換律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
- 分配律：(a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p（9）
- ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
取模運算重要定理
- 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c)/ ≡ (b + c) (%p)；（11）
- 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
- 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （13）
取模運算應用
判別奇偶數
奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。
已知一個整數n對2取模，如果餘數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。
C++實現功能函數：
/*
函數名：IsEven
函數功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數
輸入值：intn，整數n
返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false
*/
bool IsEven(int n)
{
return(n%2==0);
}
判別素數
C++實現功能函數：
/*函數名：IsPrime函數功能：判別自然數n是否為素數。輸入值：intn，自然數n返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false*/
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned maxFactor=sqrt(n);//n的最大因子
for(unsigned int i=2;i<=maxFactor;i++)
{
if(n%i==0)//n能被i整除，則説明n非素數
{
return false;
}
}
return true;
}求最大公約數
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
C++實現功能函數：
/*函數功能：利用歐幾里德算法，採用遞歸方式，求兩個自然數的最大公約數函數名：Gcd輸入值：unsigned int a，自然數a；unsigned int b，自然數b返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/
unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
if(b==0)
return a;
return Gcd(b,a%b);
}/*函數功能：利用歐幾里德算法，採用迭代方式，求兩個自然數的最大公約數函數名：Gcd輸入值：unsigned int a，自然數a；unsigned int b，自然數b返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/
unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
unsigned int temp;
while(b!=0)
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
return a;
}水仙花數是指一個 n 位正整數 ( n≥3 )，它的每個位上的數字的 n 次冪之和等於它本身。（例如：1^3 + 5^3+ 3^3 = 153）。
附：其他位數的自冪數名字
一位自冪數：獨身數
兩位自冪數：沒有
三位自冪數：水仙花數
四位自冪數：四葉玫瑰數
五位自冪數：五角星數
六位自冪數：六合數
七位自冪數：北斗七星數
八位自冪數：八仙數
九位自冪數：九九重陽數
十位自冪數：十全十美數
假設：取1至1000內的水仙花數，那麼其實只有當i＞99時才成立，因為水仙花數是由3位數組成。
如果要判斷一個三位數是否為水仙花數
根據運算規則，水仙花數是三位數的每個位的數的3次冪，例如999，需要取9,9,9三個數並且三數相乘的合再判斷。
程序循環方式：
需要用取餘數的整數的方式去完成判斷條件：分別從三位數中利用取餘去取百位、十位、個位數，加以判斷
var a,b,c,d
for(i=1;i＜1000;i++){
a = parseInt(i%10); //這一步取到了個位數
b = parseInt(i/10%10); //這一步取到了十位數
c= parseInt(i/100%10); //這一步取到了百位數
d = a*a*a+b*b*b+c*c*c;//水仙花數
if(d==i&&d＞99){//比較判斷，且是三位數。
alert(d+"是水仙花數") //輸出水仙花數。
}
}
模冪運算
利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。
例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。
根據運算規則（4）a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。
根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）。
根據歐拉定理可以得到 3 ^ (4 * k) % 10 = 1, 所以（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）= (1 * 7) (% 10) = 7
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以X，每次乘法之後應用%運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘後，result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的N值來説，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的算法。
如果N是偶數，那麼X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數，那麼X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小於或等於N的最大整數。
C++實現功能函數：
/*函數功能：利用模運算規則，採用遞歸方式，計算X^N(%P)函數名：PowerMod輸入值：unsigned int x，底數x unsigned int n，指數nunsigned int p，模p返回值：unsigned int，X^N(%P)的結果*/
unsignedintPowerMod(unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp)
{
if(n==0)
{
return1;
}
unsignedinttemp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//遞歸計算（X*X）^[N/2]
if((n&1)!=0)//判斷n的奇偶性
{
temp=(temp*x)%p;
}
returntemp;
}《孫子問題(中國剩餘定理)》
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：
“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。”
這個問題稱為“孫子問題”.關於孫子問題的一般解法，國際上稱為“中國剩餘定理”.
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
C++實現功能函數：
/*函數名：ResidueTheorem函數功能：運用剩餘定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，返回最小被除數輸入值：unsignedintdevisor[]，存儲了n個除數的數組unsignedintremainder[]，存儲了n個餘數的數組intlength，數組的長度返回值：unsignedint，最小被除數*/
unsignedintResidueTheorem(constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength)
{
unsignedintproduct=1;//所有除數之乘積
for(inti=0;i<length;i++)//計算所有除數之乘積
{
product*=devisor[i];
}//公倍數數組，表示除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
unsignedint*commonMultiple=newunsignedint(length);
for(inti=0;i<length;i++)//計算除該元素（除數）之外其他除數的公倍數
{
commonMultiple[i]=product/devisor[i];
}
unsignedintdividend=0;//被除數，就是函數要返回的值
for(inti=0;i<length;i++)//計算被除數，但此時得到的不是最小被除數
{
unsignedinttempMul=commonMultiple[i];//按照剩餘理論計算合適的公倍數，使得tempMul%devisor[i]==1
while(tempMul%devisor[i]!=1)
{
tempMul+=commonMultiple[i];
}
dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除數得到的餘數乘以其他除數的公倍數
}
delete[]commonMultiple;return(dividend%product);//返回最小被除數
}凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯·凱撒（Julius Caesar）創造的，用於加密通過信使傳遞的作戰命令。
它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的後面可以看成是a。
例如，當密匙為k = 3，即向後移動3位時，若明文為”How are you!”，則密文為”Krz duh btx!”。
凱撒密碼的加密算法極其簡單。其加密過程如下：
解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這裏key1=key2,不妨記為key）。
凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字符個數）
同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字符個數）
C++實現功能函數：
/*函數功能：使用凱撒密碼原理，對明文進行加密，返回密文函數名：Encrypt輸入值：constcharproclaimedInWriting[]，存儲了明文的字符串charcryptograph[]，用來存儲密文的字符串intkeyey，加密密匙，正數表示後移，負數表示前移返回值：無返回值，但是要將新的密文字符串返回*/
voidEncrypt(constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey)
{
constintNUM=26;//字母個數
intlen=strlen(proclaimedInWriting);
for(inti=0;i<len;i++)
{
if(proclaimedInWriting[i]>='a'&&proclaimedInWriting[i]<='z')
{
cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'a'+key)%NUM+'a';//明碼是大寫字母，則密碼也為大寫字母
}
else if(proclaimedInWriting[i]>='A'&&proclaimedInWriting[i]<='Z')
{
cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-'A'+key)%NUM+'A';//明碼是小寫字母，則密碼也為小寫字母
}
else{cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i];//明碼不是字母，則密碼與明碼相同}
}
cryptograph[len]='\0';
}/*函數功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文函數名：Decode輸入值：charproclaimedInWriting[]，用來存儲明文的字符串constcharcryptograph[]，存儲了密文的字符串intkeyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示後移（與加密相反）返回值：無返回值，但是要將新的明文字符串返回*/
voidDecode(constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey)
{
constintNUM=26;//字母個數
intlen=strlen(cryptograph);
for(inti=0;i<len;i++)
{
if(cryptograph[i]>='a'&&cryptograph[i]<='z')
{
NUMproclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'a'-key+NUM)%NUM+'a';//密碼是大寫字母，則明碼也為大寫字母，為防止出現負數，轉換時要加個
}
else if(cryptograph[i]>='A'&&cryptograph[i]<='Z')
{
proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-'A'-key+NUM)%NUM+'A';//密碼是小寫字母，則明碼也為小寫字母
}
else{//密碼不是字母，則明碼與明密相同proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i];}
}
proclaimedInWriting[len]='\0';
}模運算及其簡單應用就先講到這了，其實模運算在數學及計算機領域的應用非常廣泛。
