動力學

動力學是理論力學的分支學科，研究作用於物體的力與物體運動的關係。動力學的研究對象是運動速度遠小於光速的宏觀物體。原子和亞原子粒子的動力學研究屬於量子力學，可以比擬光速的高速運動的研究則屬於相對論力學。動力學是物理學和天文學的基礎，也是許多工程學科的基礎。許多數學上的進展常與解決動力學問題有關，所以數學家對動力學有濃厚的興趣。

動力學的研究以牛頓運動定律為基礎；牛頓運動定律的建立則以實驗為依據。動力學是牛頓力學或經典力學的一部分，但自20世紀以來，動力學又常被人們理解為側重於工程技術應用方面的一個力學分支。

動力學的基本內容包括質點動力學、質點系動力學、剛體動力學，達朗伯原理等。以動力學為基礎而發展出來的應用學科有天體力學、振動理論、運動穩定性理論、陀螺力學、外彈道學、變質量力學以及正在發展中的多剛體系統動力學等（見振動，運動穩定性，變質量體運動，多剛體系統）。

質點動力學有兩類基本問題:一是已知貭點的運動，求作用於質點上的力，二是已知作用於質點上的力，求質點的運動，求解第一類問題時只要對質點的運動方程取二階導數，得到質點的加速度，代入牛頓第二定律，即可求得力；求解第二類問題時需要求解質點運動微分方程或求積分。所謂質點運動微分方程就是把運動第二定律寫為包含質點的座標對時間的導數的方程。

動力學普遍定理是質點系動力學的基本定理，它包括動量定理、動量矩定理、動能定理以及由這三個基本定理推導出來的其他一些定理。動量、動量矩和動能（見能）是描述質點、質點系和剛體運動的基本物理量。作用於力學模型上的力或力矩與這些物理量之間的關係構成了動力學普遍定理。二體問題和三體問題是質點系動力學中的經典問題。

剛體區別於其他質點系的特點是其質點之間距離的不變性。推述剛體姿態的經典方法是用三個獨立的歐拉角。歐拉動力學方程是剛體動力學的基本方程，剛體定點轉動動力學則是動力學中的經典理論。陀螺力學的形成説明剛體動力學在工程技術中的應用具有重要意義。多剛體系統動力學是20世紀60年代以來由於新技術發展而形成的新分支，其研究方法與經典理論的研究方法已有所不同。

力學的發展，從闡述最簡單的物體平衡規律，到建立運動的一般規律，經歷了大約二十個世紀。前人積累的大量力學知識，對後來動力學的研究工作有着重要的作用，尤其是天文學家哥白尼和開普勒的宇宙觀。

17世紀初期，意大利物理學家和天文學家伽利略用實驗揭示了物質的慣性原理，用物體在光滑斜面上的加速下滑實驗，揭示了等加速運動規律，並認識到地面附近的重力加速度值不因物體的質量而異，它近似一個常量，進而研究了拋射運動和質點運動的普遍規律。伽利略的研究開創了為後人所普遍使用的，從實驗出發又用實驗驗證理論結果的治學方法。

17世紀，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茲建立了的微積分學，使動力學研究進入了一個嶄新的時代。牛頓在1687年出版的鉅著《自然哲學的數學原理》中，明確地提出了慣性定律、質點運動定律、作用和反作用定律、力的獨立作用定律。他在尋找落體運動和天體運動的原因時，發現了萬有引力定律，並根據它導出了開普勒定律，驗證了月球繞地球轉動的向心加速度同重力加速度的關係，説明了地球上的潮汐現象，建立了十分嚴格而完善的力學定律體系。

動力學以牛頓第二定律為核心，這個定律指出了力、加速度、質量三者間的關係。牛頓首先引入了質量的概念，而把它和物體的重力區分開來，説明物體的重力只是地球對物體的引力。作用和反作用定律建立以後，人們開展了質點動力學的研究。

牛頓的力學工作和微積分工作是不可分的。從此，動力學就成為一門建立在實驗、觀察和數學分析之上的嚴密科學，從而奠定現代力學的基礎。

17世紀荷蘭科學家惠更斯通過對擺的觀察，得到了地球重力加速度，建立了擺的運動方程。惠更斯又在研究錐擺時確立了離心力的概念；此外，他還提出了轉動慣量的概念。

牛頓定律發表100年後，法國數學家拉格朗日建立了能應用於完整系統的拉格朗日方程。這組方程式不同於牛頓第二定律的力和加速度的形式，而是用廣義座標為自變量通過拉格朗日函數來表示的。拉格朗日體系對某些類型問題(例如小振盪理論和剛體動力學)的研究比牛頓定律更為方便。

剛體的概念是由歐拉引入的。18世紀瑞士學者歐拉把牛頓第二定律推廣到剛體，他應用三個歐拉角來表示剛體繞定點的角位移，又定義轉動慣量，並導得了剛體定點轉動的運動微分方程。這樣就完整地建立了描述具有六個自由度的剛體普遍運動方程。對於剛體來説，內力所做的功之和為零。因此，剛體動力學就成為研究一般固體運動的近似理論。

1755年歐拉又建立了理想流體的動力學方程；1758年伯努利得到關於沿流線的能量積分(稱為伯努利方程)；1822年納維得到了不可壓縮性流體的動力學方程；1855年法國希貢紐研究了連續介質中的激波。這樣動力學就滲透到各種形態物質的領域中去了。例如，在彈性力學中，由於研究碰撞、振動、彈性波傳播等問題的需要而建立了彈性動力學，它可以應用於研究地震波的傳動。

19世紀英國數學家漢密爾頓用變分原理推導出漢密爾頓正則方程，此方程是以廣義座標和廣義動量為變量，用漢密爾頓函數來表示的一階方程組，其形式是對稱的。用正則方程描述運動所形成的體系，稱為漢密爾頓體系或漢密爾頓動力學，它是經典統計力學的基礎，又是量子力學借鑑的範例。漢密爾頓體系適用於攝動理論，例如天體力學的攝動問題，並對理解複雜力學系統運動的一般性質起重要作用。

拉格朗日動力學和漢密爾頓動力學所依據的力學原理與牛頓的力學原理，在經典力學的範疇內是等價的，但它們研究的途徑或方法則不相同。直接運用牛頓方程的力學體系有時稱為矢量力學；拉格朗日和漢密爾頓的動力學則稱為分析力學。

動力學的基本內容包括質點動力學、質點系動力學、剛體動力學、達朗貝爾原理等。以動力學為基礎而發展出來的應用學科有天體力學、振動理論、運動穩定性理論，陀螺力學、外彈道學、變質量力學，以及正在發展中的多剛體系統動力學、晶體動力學等。 ^[1] 

質點和質點系。質點是具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。

質點動力學有兩類基本問題：一是已知質點的運動，求作用於質點上的力；二是已知作用於質點上的力，求質點的運動。求解第一類問題時只要對質點的運動方程取二階導數，得到質點的加速度，代入牛頓第二定律，即可求得力；求解第二類問題時需要求解質點運動微分方程或求積分。 ^[2] 

動力學普遍定理是質點系動力學的基本定理，它包括動量定理、動量矩定理、動能定理以及由這三個基本定理推導出來的其他一些定理。動量、動量矩和動能是描述質點、質點系和剛體運動的基本物理量。作用於力學模型上的力或力矩，與這些物理量之間的關係構成了動力學普遍定理。

剛體的特點是其質點之間距離的不變性。歐拉動力學方程是剛體動力學的基本方程，剛體定點轉動動力學則是動力學中的經典理論。陀螺力學的形成説明剛體動力學在工程技術中的應用具有重要意義。多剛體系統動力學是20世紀60年代以來，由於新技術發展而形成的新分支，其研究方法與經典理論的研究方法有所不同。

達朗貝爾原理是研究非自由質點系動力學的一個普遍而有效的方法。這種方法是在牛頓運動定律的基礎上引入慣性力的概念，從而用靜力學中研究平衡問題的方法來研究動力學中不平衡的問題，所以又稱為動靜法。 ^[3] 

對動力學的研究使人們掌握了物體的運動規律，並能夠為人類進行更好的服務。例如，牛頓發現了萬有引力定律，解釋了開普勒定律，為近代星際航行，發射飛行器考察月球、火星、金星等等開闢了道路。

自20世紀初相對論問世以後，牛頓力學的時空概念和其他一些力學量的基本概念有了重大改變。實驗結果也説明：當物體速度接近於光速時，經典動力學就完全不適用了。但是，在工程等實際問題中，所接觸到的宏觀物體的運動速度都遠小於光速，用牛頓力學進行研究不但足夠精確，而且遠比相對論計算簡單。因此，經典動力學仍是解決實際工程問題的基礎。

在目前所研究的力學系統中，需要考慮的因素逐漸增多，例如，變質量、非整、非線性、非保守還加上反饋控制、隨機因素等，使運動微分方程越來越複雜，可正確求解的問題越來越少，許多動力學問題都需要用數值計算法近似地求解，微型、高速、大容量的電子計算機的應用，解決了計算複雜的困難。

目前動力學系統的研究領域還在不斷擴大，例如增加熱和電等成為系統動力學；增加生命系統的活動成為生物動力學等，這都使得動力學在深度和廣度兩個方面有了進一步的發展。 ^[4]