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剛體定點轉動
鎖定
- 中文名
- 剛體定點轉動
- 外文名
- rotationofarigidbodyaboutafixedpoint
目錄
- 1 定義
剛體定點轉動定義
剛體繞一固定點的運動。繞固定點轉動的剛體只有一點不動,而其餘各點則分別在以該固定點為中心的同心球面上運動。支在固定球鉸鏈上的剛體、萬向聯軸節中的十字頭、萬向支架中的陀螺轉子等,都可以作這種運動。定點轉動的剛體通常用歐拉角ψ、θ、φ來定位。
剛體的定點轉動方程為:
式中t為時間。
達朗伯-歐拉定理
可表述為:定點轉動剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉動來實現,該軸通過剛體的固定點。這個定理是J.le R.達朗伯於1749年,L.歐拉於1750年先後提出的,故得名。説明如下:
以中心在固定點O的任一球面截取剛體的截面圖形S(圖1)。在剛體的有限位移中,圖形內一點由A運動到A1,而另一點由B運動到B1,則大圓弧AA1的中垂面和大圓弧BB1的中垂面的交線OP*就是剛體這一有限位移的轉軸。
微小角位移
在短暫的時間間隔△t內,剛體繞軸OP*轉過一微小角度Θ,稱為角位移。它具有矢量的性質,可按平行四邊形規則相加。如用歐拉角定位,則當ψ、θ、φ有微小變化dψ、dθ、dφ時,剛體的微小角位移矢量Θ可表示成:
Θ=dψk+dθn+dφk′=Θxi+Θyj+Θzk,
式中i、j、k為固定軸系Oxyz的單位矢;n、k′為節線和動基軸Oz′的單位矢(圖2)。
角速度
Δt趨向於零時,Θ趨於一個極限方向,Θ與Δt之比也趨於一個極限值ω。矢量ω稱為剛體在瞬時t的角速度,其數學表達式為:
式中
分別是繞三個歐拉角的軸2、n、z′轉動的角速度。Δt→0時轉軸OP*所趨於的極限位置OP稱為剛體的瞬時軸,在每一瞬時,剛體以角速度ω繞瞬時軸轉動。
瞬軸錐面
隨着時間的推移,剛體的瞬時軸要改變位置,它在固定空間描出一個錐面,稱定瞬軸錐面(即空間極錐的錐面);同時在剛體內部也描出一個錐面,稱為動瞬軸錐面(即本體極錐的錐面)。由此可得潘索定理:剛體定點轉動可用動瞬軸錐面在定瞬軸錐面上的純滾動來代替。
在定瞬軸錐面上,剛體的角速度矢ω的端點E描出的曲線稱為ω矢端圖(圖3)。
角加速度
作定點轉動的剛體角速度ω通常是變量。角速度變化 Δω與對應時間間隔Δt的比值當Δt→0時所趨至的極限值ε稱為剛體在瞬時t的角加速度,其數學表達式為:
可以把
視為ω矢端E沿矢端圖運動的速度。
裏瓦斯公式
定點轉動剛體內任一點Q的速度v和加速度a的公式,它們是:
v=ω×r, a=a1+a2=ε×r+ω×v,
式中r為點Q的矢徑;a1=ε×r為旋轉加速度,沿着(ε,r)平面的法線,一般並不和速度v共線;a2=ω×v為向軸加速度,恆垂直並指向瞬時軸(圖4),但不是沿點Q軌跡的主法線。
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