牛頓方程

牛頓法最初由艾薩克·牛頓於1736年在 《流數法與無窮級數》 中公開提出。而事實上方法此時已經由約瑟夫·拉弗森於1690年在Analysis Aequationum中提出，與牛頓法相關的章節《流數法與無窮級數》在更早的1671年已經完成了。

首先，選擇一個接近函數f(x)零點的x₀，計算相應的f(x0)和切線斜率f'(x₀)（這裏f'表示函數f的導數）。然後我們計算穿過點(x₀,f(x₀))並且斜率為f'(x₀)的直線和x軸的交點的x座標，也就是求如下方程的解：

例子

我們將新求得的點的x座標命名為x₁，通常x₁會比x₀更接近方程f(x) = 0的解。因此我們可以利用x₁開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示：

迭代

已經證明，如果f'是連續的，並且待求的零點x是孤立的，那麼在零點x周圍存在

一個區域，只要初始值x₀位於這個鄰近區域內，那麼牛頓法必定收斂。 並且，如果f'(x)不為0, 那麼牛頓法將具有平方收斂的性能.粗略的説，這意味着每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍。圖1為一個牛頓法執行過程的例子。

求方程f(x) = cos(x) − x³的根。兩邊求導，得f '(x) = −sin(x) − 3x²。由

於cos(x) ≤ 1（對於所有x），以及x³ ＞ 1（對於x＞1），可知方程的根位於0和1之間。我們從x₀ = 0.5開始。

牛頓法亦可發揮與泰勒展開式，對於函式展開的功能。

求a的m次方根。

x^m - a= 0

設f(x) = x^m − a，f'(x) = mx^{m − 1}

而a的m次方根，亦是x的解，

按照牛頓第二定律，在慣性參照系中，質點在外力F作用下所獲得的加速度矢量

與所受的力F有下列關係：F=ma。其中m是質點的質量，a是質點某一時刻的瞬時加速度。這是

一個矢量形式的二階微分方程。在實際運算時，常選取不同的座標系，方程的分量形式就會有不同的表示。

以直角座標系為例。其分量形式為：

如果作用力時已知的，這一組二階微分方程加上初條件（t=0時的位置和速度），解方程後即可決定以後任何時刻的位置和運動狀態。