有效數字

1．當保留n位有效數字，若第n+1位數字≤4就舍掉。

2．當保留n位有效數字，若第n+1位數字≥6時，則第n位數字進1。

3．當保留n位有效數字，若第n+1位數字=5且後面數字為0時 ，則第n位數字若為偶數時就舍掉後面的數字，若第n位數字為奇數時加1；若第n+1位數字=5且後面還有不為0的任何數字時，無論第n位數字是奇或是偶都加1。

以上稱為“四捨六入五留雙”

如將下組數據保留一位小數：

45.77≈45.8；43.03≈43.0；0.26647≈0.3；10.3500≈10.4；

38.25≈38.2；47.15≈47.2；25.6500≈25.6；20.6512≈20.7

從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。

就是一個數從左邊第一個不為0的數字數起到末尾數字為止，所有的數字（包括0，科學計數法不計10的N次方），稱為有效數字。簡單的説，把一個數字前面的0都去掉，從第一個正整數到精確的數位止所有的都是有效數字了。

如：0.0109，前面兩個0不是有效數字，後面的109均為有效數字（注意，中間的0也算）。

3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均為有效數字，後面的10的5次方不是有效數字。

5.2*10^6，只有5和2是有效數字。

0.0230，前面的兩個0不是有效數字，後面的230均為有效數字（後面的0也算）。

1.20 有3個有效數字。

1100.120 有7位有效數字。

2.998*10^4（2.998乘以10的4次方）中，保留3個有效數字為3.00*10^4。

對數的有效數字為小數點後的全部數字，如log x=1.23有效數字為2.3，log a=2.045有效數字為0、4.5，pH=2.35有效數字為3.5。

整體遵循“四捨五入”的方法 ^[2] 

以小數點後位數最少的數據為基準，其他數據修約至與其相同，再進行加減計算，最終計算結果保留最少的位數。 ^[6] 

例：計算50.1+1.4+0.5812=

修約為：50.1+1.4+0.6=52.1

以有效數字最少的數據為基準，其他有效數修約至相同，再進行乘除運算，計算結果仍保留最少的有效數字。

例：計算0.0121×25.64×1.05728=

修約為：0.0121×25.6×1.06=

計算後結果為：0.3283456，結果仍保留為三位有效數字。

記錄為：0.0121×25.6×1.06=0.328

例：計算2.5046×2.005×1.52=

修約為：2.50×2.00×1.52=

當把1.13532×10⒑保留3個有效數字時，結果為1.14×10⒑

運算中若有π、e等常數，以及√2.1/2等係數，其有效數字可視為無限，不影響結果有效數字的確定。

一般來講，有效數字的運算過程中，有很多規則.為了應用方便，本着實用的原則，加以選擇後，將其歸納整理為如下兩類。

⑴可靠數字之間運算的結果為可靠數字。

⑵可靠數字與存疑數字，存疑數字與存疑數字之間運算的結果為存疑數字。

⑶測量數據一般只保留一位存疑數字。

⑷運算結果的有效數字位數不由數學或物理常數來確定，數學與物理常數的有效數字位數可任意選取，一般選取的位數應比測量數據中位數最少者多取一位.例如：π可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中計算結果不能由於"2"的存在而只取一位存疑數字，而要根據其他數據來決定。

⑸運算結果將多餘的存疑數字捨去時應按照"四捨五入"的法則進行處理.即小於等於四則舍；大於五則入；等於五時，根據其前一位按奇入偶舍處理（等幾率原則）。例如，3.625化為3.62，4.235則化為4.24。

（初學者可間接掌握，不可急着掌握，容易忘記）

⑴有效數字相加（減）的結果的末位數字所在的位置應按各量中存疑數字所在數位最前的一個為準來決定。例如：

30.4 26.65

+ 4.325 - 3.905

34．725 22.745

取30.4+4.325=34.7,26.65-3.905=22.75。

⑵乘（除）運算後的有效數字的位數與參與運算的數字中有效數字位數最少的相同。

由此規則⑵可推知：乘方，開方後的有效數字位數與被乘方和被開方之數的有效數字的位數相同。

⑶指數，對數，三角函數運算結果的有效數字位數由其改變量對應的數位決定。例如：中存疑數字為0.08，那麼我們將的末位數改變1後比較，找出發生改變的位置就能得知。

⑷有效數字位數要與不確定度位數綜合考慮.

一般情況下，表示最後結果的不確定度的數值只保留1位，而最後結果的有效數字的最後一位與不確定度所在的位置對齊.如果實驗測量中讀取的數字沒有存疑數字，不確定度通常需要保留兩位。

但要注意：具體規則有一定適用範圍，在通常情況下，由於近似的原因，如不嚴格要求可認為是正確的。

乘方的有效數字和底數相同。

例：（0.341）^2=1.16×10^-2

有效數字的末位是估讀數字，存在不確定性.一般情況下不確定度的有效數字只取一位，其數位即是測量結果的存疑數字的位置；有時不確定度需要取兩位數字，其最後一個數位才與測量結果的存疑數字的位置對應。

由於有效數字的最後一位是不確定度所在的位置，因此有效數字在一定程度上反映了測量值的不確定度（或誤差限值）。測量值的有效數字位數越多，測量的相對不確定度越小；有效數字位數越少，相對不確定度就越大.可見，有效數字可以粗略反映測量結果的不確定度。

例子：d=（10.430±0.3）是不對的，只能寫成d=（10.4±0.3）

1．有效數字中只應保留一位欠準數字，因此在記錄測量數據時，只有最後一位有效數字是欠準數字。

2．在欠準數字中，要特別注意0的情況。0在非零數字之間與末尾時均為有效數；在小數點前或小數點後均不為有效數字。如 0.078 和 0.78 與小數點無關，均為兩位有效數字。如 506 和 220 都為3位有效數字。但當數字為 220.0 時稱為4個有效數字。

3．π等常數，具有無限位數的有效數字，在運算時可根據需要取適當的位數。

⑴實驗中的數字與數學上的數字是不一樣的。如

數學的 8.35=8.350=8.3500，

而實驗的 8.35≠8.350≠8.3500。

⑵有效數字的位數與被測物的大小和測量儀器的精密度有關。如前例中測得物體的長度為5.15cm，若改用千分尺來測，其有效數字的位數有五位。

⑶第一個非零數字前的零不是有效數字。

⑷第一個非零數字以及之後的所有數字（包括零）都是有效數字。

⑸當計算的數值為lg或者pH、pOH等對數時，由於小數點以前的部分只表示數量級，故有效數字位數僅由小數點後的數字決定。例如lgx=9.04為2位有效數字，pH=7.355為三位有效數字。

⑹當特別地，當第一位有效數字為8或9時，因為與多一個數量級的數相差不大，可將這些數字的有效數字位數視為比有效數字數多一個。例如8.314是五位有效數字，96845是六位有效數字。

⑺單位的變換不應改變有效數字的位數。因此，實驗中要求儘量使用科學計數法表示數據。如100.2m可記為0.1002km。但若用cm和mm作單位時，數學上可記為10020cm和100200mm，但卻改變了有效數字的位數，這是不可取的，採用科學計數法就不會產生這個問題了。

為了取得準確的分析結果，不僅要準確測量，而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數字的位數。因為數字的位數不僅表示數字的大小，也反映測量的準確程度。所謂有效數字，就是實際能測得的數字。

有效數字保留的位數，應根據分析方法與儀器的準確度來決定，一般使測得的數值中只有最後一位是可疑的。例如在分析天平上稱取試樣0.5000g，這不僅表明試樣的質量0.5000g，還表明稱量的誤差在±0.0002g以內。如將其質量記錄成0.50g，則表明該試樣是在台稱上稱量的，其稱量誤差為0.02g，故記錄數據的位數不能任意增加或減少。如在上例中，在分析天平上，測得稱量瓶的重量為10.4320g，這個記錄説明有6位有效數字，最後一位是可疑的。因為分析天平只能稱準到0.0002g,即稱量瓶的實際重量應為10.4320±0.0002g,無論計量儀器如何精密，其最後一位數總是估計出來的。因此所謂有效數字就是保留末一位不準確數字，其餘數字均為準確數字。同時從上面的例子也可以看出有效數字是和儀器的準確程度有關,即有效數字不僅表明數量的大小而且也反映測量的準確度。

"0"在有效數字中有兩種意義：一種是作為數字定值，另一種是有效數字。例如在分析天平上稱量物質，得到如下質量：

物質 質量（g）有效數字位數

稱量瓶 10.14306位

Na2CO3 2.1045 5位

H2C2O4·2H2O 0.21044位

稱量紙 0.01203位

以上數據中“0”所起的作用是不同的。在10.1430中兩個“0”都是有效數字，所以它有6位有效數字。在2.1045中的“0”也是有效數字，所以它有5位有效數字。在0.2104中，小數前面的“0”是定值用的，不是有效數字，而在數據中的“0”是有效數字，所以它有4位有效數字。在0.0120中，“1”前面的兩個“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效數字，所以它有3位有效數字。

綜上所述，數字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數字，而數字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”結尾的正整數，有效數字的位數不確定。例如4500這個數，就不會確定是幾位有效數字，可能為2位或3位，也可能是4位。遇到這種情況，應根據實際有效數字書寫成：

4.5×103 2位有效數字

4.50×103 3 位有效數字

4.500×103 4 位有效數字

因此很大或很小的數，常用10的乘方表示。當有效數字確定後，在書寫時一般只保留一位可疑數字，多餘數字按數字修約規則處理。

對於滴定管、移液管和吸量管，它們都能準確測量溶液體積到0.01mL。所以當用50mL滴定管測定溶液體積時，如測量體積大於10mL小於50mL時，應記錄為4位有效數字。例如寫成24.22；如測定體積小於10mL，應記錄3位有效數字，例如寫成8.13 mL。當用25mL移液管移取溶液時，應記錄為25.00mL；當用5mL吸取關係取溶液時，應記錄為5.00mL。當用250mL容量瓶配製溶液時，所配溶液體積應即為250.0mL。當用50mL容量瓶配製溶液時，應記錄為50.00mL。

總而言之，測量結果所記錄的數字，應與所用儀器測量的準確度相適應。

我國科學技術委員會正式頒佈的《數字修約規則》，通常稱為“四捨六入五成雙”法則。四捨六入五考慮，即當尾數≤4時捨去，尾數為6時進位。當尾數4舍為5時，則應是末位數是奇數還是偶數，5前為偶數應將5捨去，5前為奇數應將5進位。

這一法則的具體運用如下：

a. 將28.175和28.165處理成4位有效數字，則分別為28.18和28.16。

b. 若被捨棄的第一位數字大於5，則其前一位數字加1，例如28.2645處理成3為有效數字時，其被捨去的第一位數字為6，大於5，則有效數字應為28.3。

c. 若被舍其的第一位數字等於5，而其後數字全部為零時，則是被保留末位數字為奇數或偶數（零視為偶），而定進或舍，末位數是奇數時進1，末位數為偶數時不進1，例如28.350、28.250、28.050處理成3位有效數字時，分別為28.4、28.2、28.0。

d. 若被捨棄的第一位數字為5，而其後的數字並非全部為零時，則進1，例如28.2501，只取3位有效數字時，成為28.3。

e. 若被捨棄的數字包括幾位數字時，不得對該數字進行連續修約，而應根據以上各條作一次處理。如2.154546 ，只取3位有效數字時，應為2.15,二不得按下法連續修約為2.16：

2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

前面曾根據儀器的準確度介紹了有效數字的意義和記錄原則，在分析計算中，有效數字的保留更為重要，下面僅就加減法和乘除法的運算規則加以討論。

a. 加減法：在加減法運算中，保留有效數字的以小數點後位數最小的為準，即以絕對誤差最大的為準，例如：

0.0121+25.64+1.05782=?

正確計算不正確計算

0.01 0.0121

25.64 25.64

+ 1.06 + 1.05782

——————— ———————

26.71 26.70992

上例相加3個數字中，25.64中的“4”已是可疑數字，因此最後結果有效數字的保留應以此數為準，即保留有效數字的位數到小數點後面第二位。

b. 乘除法：乘除運算中，保留有效數字的位數以位數最少的數為準，即以相對位數最大的為準。例如：

0.0121×25.64×1.05782=?

以上3個數的乘積應為：

0.0121×25.6×1.06=0.328

在這個計算中3個數的相對誤差分別為：

E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8

E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04

E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009

顯然第一個數的相對誤差最大（有效數字為3位），應以它為準，將其他數字根據有效數字修約原則，保留3位有效數字，然後相乘即可。

c. 自然數，在分析化學中，有時會遇到一些倍數和分數的關係，如：

H3PO4的相對分子量/3=98.00/3=32.67

水的相對分子量=2×1.008+16.00=18.02

在這裏分母“3”和“2×1.008”中的“2”都還能看作是一位有效數字。因為它們是非測量所得到的數，是自然數，其有效數字位數可視為無限的。

在常見的常量分析中，一般是保留四位有效數字。但在水質分析中，有時只要求保留2位或3位有效數字，應視具體要求而定。 ^[3] 

所有非零數字都是有效的1,2,3,4,5,6,7,8,9。

非零數字之間的零點數大於102,2005,50009。

前導零從不重要..0.02,1.0887,51.05。

在一個帶小數點的數字中，尾隨零（最後一個非零數字的右側）是重要的.2.02000,5,400,57.5400

在沒有小數點的數字中，尾隨零可能或可能不顯着。需要通過附加圖形符號或顯式錯誤信息獲得更多信息，以澄清尾隨零的意義。

具體來説，編寫或解釋數字時識別有效數字的規則如下：

所有非零數字都被認為是重要的。例如，91有兩個有效數字（9和1），而123.45有五個有效數字（1,2,3,4和5）。

出現在兩個非零數字之間的零點的零是很重要的。示例：101.1203有七個有效數字：1,0,1,1,2,0和3。

前導零並不重要。例如，0.00052有兩個有效數字：5和2。

包含小數點的數字中的尾隨零值很大。例如，12.2300有六個有效數字：1,2,2,3,0和0.數字0.000122300仍然只有六個有效數字（1之前的零不重要）。此外，120.00有五個有效數字，因為它有三個尾隨零。這個慣例澄清了這些數字的精度;例如，如果將精確到四位小數位（0.0001）的測量值給出為12.23，那麼可以理解，只有兩位精度小數位可用。將結果表示為12.2300，表明精確到四位小數（在這種情況下，六個有效數字）。

在不包含小數點的數字中，尾隨零的含義可能不明確。例如，如果一個1300號的數字對於最近的單位是精確的（並且恰巧巧合地是一百的確切倍數），或者如果由於四捨五入或不確定性僅顯示為最接近的百分點，則可能並不總是清楚的。存在許多解決這個問題的慣例：

有時也稱為超欄，或者不太準確地説，一個vinculum可以放在最後一個有效數字上;跟隨此後的任何尾隨零都是微不足道的。例如，1300有三個有效數字（因此表明數字精確到最接近十）。

不常使用一個密切相關的公約，可以強調一個數字的最後一個重要數字;例如，“2000”有兩個重要的數字。

小數點後可放置數字;例如“100.”具體指出三個重要數字是指[3]

在數量和單位測量的組合中，可以通過選擇合適的單位前綴來避免歧義。例如，指定為1300克的質量的有效數字是不明確的，而質量為13 hg或1.3 kg則不是。

然而，這些約定並不是普遍使用的，並且通常需要從上下文中確定這樣的尾隨零是否意在是重要的。如果全部失敗，可以明確指定舍入級別。縮寫s.f.有時使用，例如“20 000 to 2 s.f.”或“20 000（2 sf）”。或者，不確定性可以單獨和明確地用正負號來表示，如20 000±1%，因此不重要的數字規則不適用。這也允許指定十次冪之間的精度（或編號系統的基本功率的任何值）。

在大多數情況下，同樣的規則適用於以科學計數表示的數字。但是，按照該符號的標準化形式，不會出現佔位符的前導和後置數字，因此所有數字都是重要的。例如，0.00012（兩個有效數字）變為1.2×10-4，0.00122300（六個有效數字）變為1.22300×10-3。特別地，消除了尾隨零的意義的潛在模糊性。例如，1300〜4個有效數字為1.300×103，而1300〜2個有效數字為1.3×103。

包含有效數字（與基數或指數相反）的表示部分稱為有效數或尾數。 ^[4]