函數最值

一般的，函數最值分為函數最小值與函數最大值。

設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對於任意實數x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那麼，我們稱實數M 是函數y=f(x)的最小值。

設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對於任意實數x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那麼，我們稱實數M 是函數y=f(x)的最大值。

一次函數（linear function），也作線性函數，在x,y座標軸中可以用一條直線表示，當一次函數中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的值。

所以，無論是正比例函數，即：y=ax（a≠0） 。還是普通的一次函數，即：y=kx+b （k為任意不為0的常數，b為任意實數），只要x有範圍，即z<或≤x<≤m（要有意義），那麼該一次函數就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且與a的取值範圍有關係

當a<0時，則y隨x的增大而減小，即y與x成反比。則當x取值為最大時，y最小，當x最小時，y最大。例：

2≤x≤3 則當x=3時，y最小，x=2時，y最大

當a>0時，則y隨x的增大而增大，即y與x成正比。則當x取值為最大時，y最大，當x最小時，y最小。例：

2≤x≤3 則當x=3時，y最大，x=2時，y最小

一般地，我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數是2。 　注意：“變量”不同於“未知數”，不能説“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。“未知數”只是一個數（具體值未知，但是隻取一個值），“變量”可在一定範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別.如同函數不等於函數關係。

而二次函數的最值，也和一次函數一樣，與a扯上了關係。

觀察右圖。當a<0時，則圖像開口於y=-2x² ，y=-½x²一樣，則此時y 有最大值，且y只有最大值（聯繫圖像和二次函數即可得出結論）

此時y值等於頂點座標的y值

觀察右圖。當a>0時，則圖像開口於y=2x² ，y=½x²一樣，則此時y 有最小值，且y只有最小值（聯繫圖像和二次函數即可得出結論）

此時y值等於頂點座標的y值

一般地，如果兩個變量x、y之間的關係可以表示成y=k/x (k為常數，k≠0)的形式，那麼稱y是x的反比例函數。 因為y=k/x是一個分式，所以自變量X的取值範圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^（-1）。

這反比例函數的最值，實際上，和二次函數、一次函數與a的關係一樣，與k的取值範圍有關係，然而，它並不像二次函數那樣，最值是確定的，而是像一次函數那樣，只有當x有取值範圍後，最值才能有。

當k<0時，且x<0時，y隨着x的增大而增大。而當k<0時，且x>0時，y隨着x的增大而增大。這個是很容易弄混的，應當在草稿本上例題驗算一下。

當k>0時，且x<0時，y隨着x的增大而減小。而當k>0時，且x>0時，y隨着x的增大而減小。這個同樣是很容易弄混的，應當在草稿本上例題驗算一下，然後與上面的進行對比