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冪指函數
鎖定
- 中文名
- 冪指函數
- 外文名
- power-exponential function
- 函數推廣
- 廣義冪指函數
- 特 點
- 既像冪函數 又像指數函數
冪指函數定義
冪指函數指數和底數都是變量的函數，形如
是數集）的函數稱為冪指函數，其中 u,v 是 E 上的函數。
冪指函數既像冪函數，又像指數函數，二者的特點兼而有之。作為冪函數，其冪指數確定不變，而冪底數為自變量；相反地，指數函數卻是底數確定不變，而指數為自變量。冪指函數就是冪底數和冪指數同時都為自變量的函數。這種函數的推廣，就是廣義冪指函數。
冪指函數具體例子
圖1.最簡單的冪指函數
此外，從函數y=xx的圖象可以清楚看出，0的0次方是不存在的。這就是在初等代數中明文規定“任意非零實數的零次冪都等於1，零的任意非零非負次冪都等於零”的真正原因。
冪指函數函數極限
本段中所有
的記號，表示的是各種可能的趨向，即 *可以是a、a-0、a+0 、∞ 、-∞ 或+∞ 。
冪指函數一般方法
利用恆等變形（即換底變形）
及複合函數
求極限法則
，有
冪指函數待定型
所以冪指函數極限
僅有三種待定型：
型、
型、
型。
冪指函數肯定型
冪指函數的極限
除了上述三種待定型外沒有第四種待定型了。
若
、
，因為規定l了
，所以必有
，則
（1）
，（i）
，
；（ii）
，
；
（2）
，
，
；
（3）
，（i）
為
，
；（ii）
為為
，
；
（4）
，（i）
為
，
；（ii）
為為
，
；
（5）
為+
，（i）
或
，
；（ii）
或
，
。
冪指函數典例分析
（1）求
，
解 這個極限式“
型”待定型，先求
，所以
解這個極限式是“
型”待定型，先求
，其中
（3）求
所以
。
注 本題也可以等價無窮大替代，或經過放大縮小
後再用夾逼準則計算。
（4）求
。
解這個極限式是“
型”待定型，先計算
，由於
，可知
是
時的無窮小量，利用等價無窮小關係
，可得
注 （1）這裏“
型”待定型中不能先把“底的極限1”先算出來，錯成
。
（2）解這種問題時除了使用洛必達法則外，經常會用到等價無窮小替代及換元方法。
冪指函數求導方法
下面給出一般冪指函數的求導方法。為書寫方便，把f(x)和g(x)分別用f和g代替，即
指數求導法
由於冪指函數定義中f(x)>0，因此可以利用對數的性質將函數改寫。
，再對指數函數進行求導。
這種方法是在兩邊取對數，再利用隱函數的求導法則求出y‘。
多元複合函數求導法
根據一元與多元函數複合的求導法則，
的導數為
