迭代冪次

在數學裏面，迭代冪次（亦作超-4運算），或可理解為迭代乘方、冪塔運算和超冪運算、廣義冪指函數 ^[1]  等，是專指冪的下一個超運算級別。以下列舉了首四個超運算級別，其中迭代冪次為第四級。 ^[2] 

對於任何正實數a及非負整數n，

被定義為：

通常的解釋是：

x+x+x=x*3，此3為表示3個相同的x相加；

x*x*x=x^3，此3表示相同的3個x相乘；

x^(x^x)=x^^3，此3表示連續3個x冪指運算且“^^”為新的運算。

可以繼續推廣。這就是迭代冪次的來由 ^[3]  。

從上述定義中可見，當計算被表達成冪塔的迭代冪次時，冪運算是先由最深層（以符號來表示，則最高級）的上標數做起。

例子如下：

要注意，冪是不遵從結合律的，因此以其他順序來計算上述表達式將會出現不一樣的答案，例如：

因此，冪塔一定要從上而下（或從右至左）來運算。在計算機程序中，此制式稱為右結合律。

迭代冪次有多種表示方法，通常有：

標準符號記法： a[4]n 或者 ⁿa；高納德箭號表示法： a↑↑n；ASCII符號： a^^n；

其他如迭代指數法、阿克曼函數法、Hooshmand符號記法、超運算符號等不再贅述。

當a與n為互質時，我們可以透過歐拉定理來計算

的最後m個小數位值。 ^[2] 

一般的，x^^0.5 是沒有定義的（注意，它不等於x^0.5）。可以用一個假設解決此問題 ^[3]  。

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