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互質
鎖定
- 中文名
- 互質
- 外文名
- relatively prime
- 別 名
- 互素
- 表達式
- (c,m)=1
- 應用學科
- 數學
- 應用領域
- 計算機
互質定義
例如8,10的最大公因數是2,不是1,因此不是整數互質。
7,11,13的最大公因數是1,因此這是整數互質。
5和5不互質,因為5和5的公因數有1、5。
1和任何數都成倍數關係,但和任何數都互質。因為1的因數只有1,而互質數的原則是:只要兩數的公因數只有1時,就説兩數是互質數。因為1只有一個因數所以1既不是質數(素數),也不是合數,無法再找到1和其他數的別的公因數了。1和-1與所有整數互素,而且它們是唯一與0互素的整數。
互質數的寫法:如c與m互質,則寫作(c,m)=1。
小學數學教材對互質數是這樣定義的:“公約數只有1的兩個數,叫做互質數。”
這裏所説的“兩個數”是指自然數。
“公約數只有 1”,不能誤説成“沒有公約數。”
這裏有一個誤區,認為0不與任何數互質。嚴格地按照互質的定義來看0與1,-1均互質,通過任意有理數的表示方式a/b(a,b互質且b為正整數),同樣可以得出0與1,-1均必須互質,否則0不是有理數。
互質判別方法
(1)兩個不同的質數一定是互質數。
例如,2與7、13與19。
(2)一個質數,另一個不為它的倍數,這兩個數為互質數。
例如,3與10、5與 26。
(3)1不是質數也不是合數,它和任何一個自然數(1本身除外)在一起都是互質數。如1和9908。
(4)相鄰的兩個自然數是互質數。如 15與 16。
(5)相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。
(6)較大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。
如357與715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的約數,這兩個數為互質數。
(8)兩個數都是合數(二數差較小),這兩個數的差的所有質因數都不是較小數的約數,這兩個數是互質數。如85和78。85-78=7,7不是78的約數,這兩個數是互質數。
(9)兩個數都是合數,較大數除以較小數的餘數(不為“0”且大於“ 1”)的所有質因數,都不是較小數的約數,這兩個數是互質數。如 462與 221
462÷221=2……20,
20=2×2×5。
2、5都不是221的約數,這兩個數是互質數。
(10)減除法。如255與182。
255-182=73,觀察知 73<82。
182-(73×2)=36,顯然 36<73。
73-(36×2)=1,
(255,182)=1。
三個或三個以上自然數互質有兩種不同的情況:一種是這些成互質數的自然數是兩兩互質的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質的。如6、8、9。
互質編程語言實現
互質C語言
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
} //遞歸法求最大公約數,當最大公約數是1的時候,兩個數互質
互質Java語言
public int gcd(int a, int b) {
if(a
swap(a,b);
}
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
- 參考資料
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- 1. 李彥峯.求最大公約數的兩種算法案例[J].中學生數理化(高一版),2017,(1):26. .萬方數據庫[引用日期2017-09-06]
- 2. 中公教育教師招聘考試研究院.學科專業知識 小學數學 2012最新版:北京:世界圖書北京出版公司,2012.02:16
- 3. 李慧賢.判斷互質數的幾種方法[J].數學小靈通:小學中高年級班,2003(11):31-31