例外曲線

代數曲面上的例外除子稱為例外曲線(exceptional curve)。

設V是代數曲面， P∈V是一個曲面奇點。考慮(V,P)的奇點解消，σ：(W,E)→(V,P)，其中E是P的原像， 它是一條曲線（不一定不可約）。 我們就稱E是例外曲線。

例外曲線必是負定曲線。它上面唯一確定了基本閉鏈Z，這個基本閉鏈Z反映了例外曲線的一些拓撲性質，從而也刻畫了奇點P的性質。

[exceptional subvariety]

代數閉域上代數簇X的閉子簇Y滿足: 存在雙有理態射f：X→X₁， Y在f下的像Y₁是維數較小的子簇，並且f:X\Y→X₁\f(Y)是同構。態射f稱為Y到Y₁=f(Y) 上的收縮(contraction)。如果X，X₁，Y，Y₁是光滑不可約簇，則稱Y為第一類例外子簇(esceptional subvariety of the first kind)。如果Y在X中的餘維數是1,則稱Y是例外除子(exceptional disvisor)。

例外子簇的概念能自然地推廣到概形，代數空間和復解析空間上。對應態射稱為收縮(contraction)。也能自然地推廣第一類例外子簇的概念，復解析空間中的例外子簇亦稱例外解析集(exceptional analytic set)。

刻畫例外子簇是雙有理幾何學的基本問題之一，歷史上第一個這樣的刻畫的例子是恩裏克斯-卡斯泰爾諾沃準則(Enriques–Castelnuovo criterion)：光滑曲面X上不可約完全曲線Y是第一類例外子簇，當且僅當Y同構於射影直線P¹，且Y在X上的自交數(Y·Y) 等於-1。這個準則能推廣到二維正則概形的一維子概形上。如果

是光滑射影曲面X上具有不可約分支Yᵢ的任意連通完全曲線，則Y是例外除子的必要(但不充分) 條件是矩陣(Yᵢ·Y𝗃) 是負定的。在光滑復曲面上的連通復曲線，或者二維光滑代數空間上的連通完全曲線的情形，刻畫例外子簇的類似條件是充分必要的。

在代數空間的情形下，例外性的最一般的準則是：在諾特代數空間的範疇中，X的子空間Y是例外子簇，當且僅當在形式代數空間的範疇中，形式完全化Y在X中是例外子簇。換句話説，代數子空間能收縮，當且僅當與之對應的形式完全化也能收縮。 ^[1]