基本閉鏈

設X是光滑代數曲面， C是一條負定曲線，寫為

其中

是第i個不可約分支， 下標i從1取到r。換句話説，C是由r條不可約的曲線組成的。

阿廷( Artin )給了一個判定負定曲線的方法。 它證明，如果C是負定的，則曲面上上必存在一個支集（support，也稱支撐集）為C的除子 Z，使得

， 對C的任何不可約分支C_i成立， 且自交數

<0。 反之，要是有這麼一個除子Z,那麼C就是負定的。

有趣的是， 上面滿足條件的Z中必有一個最小者。 這個最小的除子就成為C上的基本閉鏈 （fundamental cycle）。

設Z是C上的基本閉鏈， 那麼Z有如下性質：

(1) 算術虧格 非負， 即

。

(2)Z>0是有效除子。

(3)

， 對C的任何不可約分支C_i成立， 且自交數

(4) 設W也是一個支集為C的除子, 且滿足

對C的任何不可約分支

成立， 那麼必有W≥Z.

(5)

當且僅當 C是有理曲線，換句話説，就是C能收縮成有理奇點。

H.Laufer 給出了一種構造基本閉鏈的方法。任取C中的分支

，記

。如果存在一個分支

使得

，那麼就記

。

如果存在一個分支

，使得

那麼就記

，以此類推......有限步後此過程必會終止， 最後一項

就是我們要的基本閉鏈 ^[1]  。

由上述的阿廷的結論， 一個代數曲面的奇點在做奇點解消後，爆發出的例外曲線 是負定曲線， 它唯一確定了基本閉鏈Z. 雖然奇點解消過程不是唯一的（極小解消是唯一的）， 但是人們發現 自交數

和 算術虧格

是由奇點唯一確定的，不依賴於解消過程。這兩個量就是奇點的數值不變量。

阿廷 證明， 有理奇點 的重數恰好是

。