有效除子

除子(divisor)亦稱韋伊除子，是研究代數簇的重要工具之一，指不可約簇X上餘維數為1的不可約子簇的代數和。具體地，若D表示X中不含於X的奇異軌跡之中且餘維數為1的不可約子簇的全體，

表示以D為基的自由阿貝爾羣，則

中的元稱為除子。設

是一個除子，

是不可約子簇，若所有的

，則稱A為有效除子，稱

為素除子。例如，若X是餘維數1正則的(即X的所有一維局部環都是正則環)射影簇，A是X上的素除子，則

是一個離散賦值環。若f是X上的非零有理函數，則對

的賦值

是個整數，且除了有限多個A之外，

。因此，可以定義f的除子

這種除子稱為主除子。若兩個除子

的差等於一個主除子，即

則稱D和D′是線性等價的。

關於線性等價的商羣稱為X的除子類羣，記為

^[1]  。

定義 設

是一個一維代數函數域，

的任何一個離散賦值環稱為一個素除子 ，由素除子全體所生成的自由Abel羣稱為

的除子羣，記作

，其中的元素稱為除子 ^[2]  。

設

按照一維函數域的定義，k在K中代數封閉，故

是k上的超越元，因此K是

的有限擴張，令

即環

在它的素理想

的局部化，則A是

的一個離散賦值環，它在K中只有有限多個擴張，這表明

只有有限多個不等價的離散賦值v滿足

。

定義 把

中的素除子全體所組成的集合記作

，對任何

，記

為P所對應的標準賦值．對於

，除子

稱為一個主除子。主除子全體形成

的一個子羣，

關於這個子羣的商羣稱為

的Picard羣，記作

，Picard羣有時也叫做除子類羣，記作

屬於同一個等價類裏的兩個除子

稱為是線性等價的，記為

。

對任意

它的剩餘類域k'是k的有限擴張，記

稱為P的剩餘類域指數。設

其中

，則定義

為D在點P的階，定義

，又定義

為D的次數，記作deg(D)。除子

和

分別叫做D的正的部分和負的部分。如果

對每個

成立，則稱D為一個有效除子。若

且

是有效除子，則記

，特別不等式

相當於説D是有效除子。設

，定義

設C是代數閉域k上的光滑射影曲線，則C的除子、Picard羣Pic(C)等概念都定義為C的函數域K(C)的相應概念 ^[2]  。