伯德圖

頻率特性分析(有時也稱為頻率響應)是利用開環系統函數來分析閉環系統穩定的主要方法，並藉助伯德圖分析系統穩定性，相比勞斯代數判斷更直觀。頻率響應有乃奎斯特圖(極座標圖)和伯德圖(對數座標圖)兩種方法。兩者相比，極座標圖繪製相對簡單些，但精度不是很高，所以有時會影響系統閉環穩定性判斷的準確性；伯德圖繪製相對複雜些，但判斷閉環系統穩定性和準確性較高，且判斷穩定性原理相對簡單。 ^[4] 

伯德圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨Bode，H.W. 在1940年提出 ^[1]  。Bode發明了一種簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，這樣的圖後來也就稱為了伯德圖。

伯德圖由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線構成。 ^[5]  伯德圖是線性非時變系統的傳遞函數對頻率的半對數座標圖，其橫軸頻率以對數尺度（log scale）表示，縱座標幅值或相角採用線性分度，利用伯德圖可以看出系統的頻率響應。伯德圖一般是由二張圖組合而成， 伯德圖由兩張圖組成：①G(jω)的幅值(以分貝，dB表示)-頻率(以對數標度)對數座標圖，其上畫有對數幅頻曲線；②G(jω)的相角-頻率(以對數標度)對數座標圖，其上畫有相頻曲線。 ^[2] 

對數幅值的標準表達式為20 lg|G(jω)|，單位是分貝，相角的單位是度。由於增益用對數來表示（log(ab)=log(a)+log(b)），因此一傳遞函數乘以一常數，在伯德增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函數的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區。

配合波德相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個Asin(ωt) 的信號進入系統後振幅變原來的k倍，相位落後原信號Φ，則其輸出信號則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函數。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區。

繪製伯德圖的一般步驟為：首先將開環頻率特性G(jω)H(jω)改寫為基本環節的乘積，畫出各基本環節的伯德圖，然後把各基本環節伯德圖的對數幅值相加，相角相加，就得到G(jω)H(jω)的伯德圖. ^[1]  得到伯德圖後，對其進行一定的分析，就可以得到系統的穩定特性等。

系統開環傳遞函數由八種典型環節構成，將任意開環傳遞函數的分子、分母進行因式分解，都可以將開環傳遞函數轉化為若干典型環節的乘積，這八種典型環節為 ^[1]  ：

頻率特性可以寫成一般的形式（公式1）

式中K為增益(放大係數)，ω_n為無阻尼自然頻率，ζ 為阻尼比。

頻率特性的對數幅值(使用記號Lm)表達式為（公式2）

頻率特性的相角表達式為（公式3）或（公式4）

畫伯德圖時，分三個頻段進行，先畫幅頻特性，順序是中頻段、低頻段和高頻段。將三個頻段的頻率特性(或稱頻率響應)合起來就是全頻段的幅頻特性，然後再根據幅頻特性畫出相應的相頻特性來。 ^[3] 

作伯德圖時，首先寫出頻率特性，然後按常數因子K、積分和微分因子(jω)、一階因子(1+jωT)和二階因子[1+2ζ(jω/ωn)+(jω)/ω]1這樣四種基本因子分別畫出伯德圖，再總加而成。

圖2、圖3是常見簡易傳遞函數的伯德圖趨勢。

伯德圖可用來計算負反饋系統的增益裕度（gain margin）及相位裕度，進而確認系統的穩定性。

先定義以下的符號：

其中：

·A_FB是考慮反饋時的放大器增益（閉環增益）

· β是反饋係數

· A_OL是不考慮反饋時的放大器增益（開環增益）。

在開環增益A_OL遠大於1時，閉環增益A_FB可以用以下方式近似

在開環增益A_OL遠小於1時，閉環增益A_FB可以用以下方式近似

增益A_OL是頻率的複變函數，有大小及相位。

上述的式子中，若βA_OL乘積=−1時，可能會出現增益無窮大（即為不穩定）的情形。（若用大小和相位來表示，此時βA_OL的大小為1，相位為-180度，此條件即稱為巴克豪森穩定性準則。配合波德圖，不但可以判斷系統是否穩定，也可以判斷系統接近以上不穩定條件的程度。

在判斷系統穩定性時，會用到以下二個頻率。第一個頻率f₁₈₀是上述乘積相位恰為-180度的頻率，第二個頻率f_0dB則為乘積的絕對值|βA_OL|=1時的頻率（若以分貝表示時，則為0dB）。頻率f₁₈₀可以用下式來計算：

其中| |表示複數的絕對值（例如|a+jb| = [a+b]）。而頻率f_0dB有以下的關係：

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系統穩定程度的一種方法。在波德相位圖上可以找到βA_OL相位到達-180度時的頻率，該頻率即為f₁₈₀，之後就可以在增益圖上找到該頻率時βA_OL的大小。

若|βA_OL|₁₈₀= 1，表示此係統不穩定。若|βA_OL|₁₈₀< 1，此係統穩定，而|βA_OL|分貝值和0dB（對應增益大小為1）的距離表示系統距離不穩定的程度，稱為增益裕度。

增益裕度也可以用下式表示：

相位裕度（phase margin, PM）是另一種衡量系統穩定程度的方法。在波德增益圖上可以找到|βA_OL|大小為1的頻率，該頻率即為f_0dB，之後就可以在相位圖上找到該頻率時βA_OL的相位。

若βA_OL(f_0dB) 的相位 > −180°，表示在任何頻率時系統都會穩定，因為在f₁₈₀時大小已小於1，f_0dB時的相位和-180度之間的差稱為相位裕度。

若只是單純要判斷系統是否穩定，在系統為最小相位系統時，若f_0dB<f₁₈₀成立，則系統穩定.

若是非最小相位系統，需要用其他方式判斷穩定性，如奈奎斯特圖

伯德圖表明瞭一個電路網絡對不同頻率信號的放大能力。

但是在電子電路中，這種圖有可能比較麻煩，一方面，要表示一個網絡在低頻和高頻下的所有情況，那麼橫軸（頻率軸會很長）。此外，一般放大電路的放大倍數可能達到幾百，使得縱軸也很長。第三，這樣畫出的圖形往往是很不規則的曲線。

波特（Bode）圖是根據上述三點作了改進：

1.橫座標的頻率改成指數增長，而不是以前的線性增長，比如頻率刻度為。10、100、1000、10^4、等，每一小格代表不同的頻率跨度。使一條橫軸能表示如1hz到10hz這麼大的頻率範圍。一個更為有用的原因是這樣做符合人耳對聲音的敏感程度（對數效應）。

2.縱座標表示放大倍數以10為底的對數的20倍，這是根據分貝的定義做的。這樣縱座標的值大概0到60就足夠了。這樣在圖中一眼就能看出放大的分貝數。相頻特性也可以相應的畫。

3.把曲線做直線化處理。畫圖所依據的式子中會得到f_L f_H的數值。得出的伯德圖也應該在f_L和f_H處出現拐角（此點所在的頻率稱為截斷頻率），不過這樣處理會產生一定的誤差。理論計算可知：在截斷頻率處真實值與估計值有3dB的誤差。 在斜率不為0的直線處要標明斜率。標明出每十倍頻程放大倍數的變化情況。 經過這三種簡化，伯德圖的曲線就是由一條折線組成看起來非常舒服。雖然經過處理造成了誤差，但已經成為一種標準。

考慮以下的低通RC電路，如下圖，其頻域的轉換函數如下：

由轉換函數可以得到其截止頻率f_c（以Hz為單位）為：

另一種等效表示法為：

ω_c = 1/(RC)

其中ω_c為截止角頻率，單位是弧度每秒。

以角頻率表示的轉換函數如下:

H(jω) = （1+j ω/ω_c）^-1

上述的方程式是一個正規化後的轉換函數，其波德圖如圖4，後續將介紹如何用直線來近似波德圖。

上述轉換函數的增益（以分貝表示）和頻率的關係如圖5所示。

若在對數尺度的頻率下繪製不同頻率的增益，上式可以用二條直線近似，而這二條線也就是其波德圖增益圖的二條漸近線：

· 在角頻率小於ω_c時，因ω_/ω_c/項較小，相對 1 而言可以忽略，因此其增益值為定值1，在增益圖上是一條位在0dB的水平線。

· 在角頻率大於ω_c時，因ω_/ω_c項比較大，相對而言 1 可以忽略，因此式子簡化為-20log(ω_/ω_c)，是斜率為-20dB/十倍頻的斜線。

上述的二條線在截止頻率ω_c處交會，在圖5可以看出，當頻率遠低於截止頻率時，電路的衰減量是0 dB，對應其通帶增益為 1，此時濾波電路的輸出值和輸入值相同，而當頻率高於截止頻率時，信號會被電路衰減，越高頻的信號其衰減量越大。

上述轉換函數的相位和頻率的關係如下

φ = -arctan(ω_/ω_c)

其中,ω、ω_c分別是輸入角頻率及截止角頻率。 當輸入角頻率遠小於截止角頻率時（ω<<ω_c），比例ω_/ω_c的數值很小，因此相位角接近零度。當頻率增加，相位角的絕對值也隨之增加。在（ω=ω_c）時為-45度。當輸入角頻率遠大於截止角頻率時（ω >> ω_c，ω→∞），相位角會趨近-90度。

波德圖（包括幅頻圖及幅相圖）的橫軸頻率部份均可以用正規化的頻率（無因次頻率，ω<<ω_c）表示。此時的圖稱為正規化的波德圖，而且其中不需考慮頻率的單位，因為頻率已改用頻率和截止頻率的比值來表示。