波德圖

波德圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨德里克·韋德·波德在1930年發明。波德用簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，因此他發明的圖也就稱為波德圖。

波德圖幅頻圖的頻率用對數尺度表示，增益部分一般都用功率的分貝值來表示，也就是將增益取對數後再乘以20。由於增益用對數來表示，因此一傳遞函數乘以一常數，在波德增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函數的相乘，在波德幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區：

波德圖相頻圖的頻率也用對數尺度表示，而相位部分的單位一般會使用度。配合波德相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個Asin(ωt) 的信號進入系統後振幅變原來的k倍，相位落後原信號Φ，則其輸出信號則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函數。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區

若將系統的增益以複數表示，則複數增益取對數後的虛部即為相位，因此二傳遞函數的相乘，在波德相位圖上也是圖形的相加。

波德圖的增益和相位很難單獨的變動、二者會互相牽扯，當調整系統的增益響應時，系統的相位響應也會隨之變化，反之亦然。最小相位系統的增益和相位特性之間可以用希爾伯特轉換來轉換，因此知道其中一項即可求出另外一項。

若轉換函數是有理函數，其零點及極點均為實數，則其波德圖可以用幾條漸近線的直線來近似，利用簡單的規則即可以徒手繪製。若近似的波德圖再修正每個截止頻率時的增益值，則其近似值會更接近實際值。 ^[1] 

波德圖的前提就是可以處理以下型式函數的對數值：

上述函數的對數值可以轉換為極點及零點對數的和：

在繪製波德相位圖時直接使用了上述的概念。增益圖的繪製時則是以此概念為基礎，因為每個極點或零點其增益的對數均從0開始，而且其漸近線只有一個轉折點，因此繪製時可以再作簡化。

波德圖增益分貝值一般都利用 20log₁₀(X)的公式。考慮以下的轉換函數：

其中

及

是常數，s=jΩ,a_n,b_n>0，而H是轉換函數。

在處理無法分解的二次多項式{\displaystyle ax^{2}+bx+c\ }時，多半可以用{\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}的方式近似。

波德圖（Bode）是振動的幅值（尤指工頻分量或二階分量）和相位隨轉速而變化的圖。與頻響函數的幅、相頻特性曲線類似。從波德圖上可以清楚的看出轉子過臨界轉速的振動狀況。

波德圖（bode）是反映機器振動幅值、相位隨轉速變化的關係曲線。圖形的橫座標是轉速，縱座標有兩個，一個是振幅的峯－峯值，另一個是相位。從波德圖上我們可以得到以下信息：

a. 轉子系統在各種轉速下的振幅和相位；

b. 轉子系統的臨界轉速；

c. 轉子系統的共振放大係數(Q=Amax/ε)；一般小型機組Q在3～5甚

至更小，而大型機組在5～7；超過上述數值，很可能是不安全的；

d. 轉子的振型；

e. 系統的阻尼大小；

f. 轉子上機械偏差和電氣偏差的大小；

g. 轉子是否發生了熱彎曲。 ^[2] 

一般是指作用在系統上的擾動排除後，系統能否恢復原狀、或以怎樣的精度恢復原狀的性能。它是控制理論的一個極其重要的問題。在經典控制理論中，一般涉及到的是定常的線性系統，有關這種系統的穩定性的判別方法主要有： 羅斯—胡爾維茨準則、奈奎斯特判據、波德圖、尼柯爾圖和根軌跡法等。在現代控制理論中，對線性系統和非線性系統的穩定性的研究，主要是李雅普諾夫的穩定性理論。李雅普諾夫根據系統的輸出 (響應) 是否有界來定義系統的穩定性，並區分了三種情況： (1) 穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，如果其響應的幅值是有界的。(2) 漸近穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，如果其響應能夠最終回到初始狀態。(3)不穩定的，即對於系統初始值的一個擾動，其響應的幅值不是有界的。經典控制理論所研究的穩定性只限於第二種情況漸近穩定，而把另兩種情況都看作是不穩定的。因而李雅普諾夫的穩定性概念更具一般性。李雅普諾夫用兩種方法分析系統的穩定性，第一種方法是： 用近似極數表示非線性函數，然後用近似方法求解非線性方程，最後根據解的性質，確定其系統的穩定性; 第二種方法是： 不必求解方程，而用李雅普諾夫函數的純量函數來判別系統是否穩定，並分析系統的響應。由於第二種方法具有不必求解方程的特點，因而也稱直接法，而稱第一種方法為間接法。由於許多非線性系統和時變系統的方程是難以求解的，又由於通過計算機可以找到所需的李雅普諾夫函數，還能找到系統的穩定區域，所以第二種方法在控制理論中得到廣泛應用。穩定性對於社會經濟系統極為重要，是經濟學經常討論的重要課題之一。探討經濟系統的穩定性，對於瞭解經濟系統的動態發展規律、預測經濟發展方向以及分析經濟系統的結構等，都有着重要的現實意義。 ^[3]