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正切
鎖定
- 中文名
- 正切
- 外文名
- tangent(簡寫tan,舊為tg)
- 研究學科
- 數學
- 值 域
- 整個實數集
- 定義域
- {x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
- 週 期
- kπ,k∈Z
正切三角函數
圖1(1張)
三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數也是常用的工具。
即:tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊。
正切相關知識
正切六種基本函數
函數名 | 公式 |
---|---|
sinθ=y/r | |
餘弦函數 | cosθ=x/r |
正切函數 | tanθ=y/x |
餘切函數 | cotθ=x/y |
正割函數 | secθ=r/x |
餘割函數 | cscθ=r/y |
正切同角三角函數
類型 | 公式 |
---|---|
平方關係 | sin^2(α)+cos^2(α)=1 |
tan^2(α)+1=sec^2(α) | |
cot^2(α)+1=csc^2(α) | |
積的關係 | sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα |
tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα | |
secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα | |
倒數關係 | tanα·cotα=1 |
sinα·cscα=1 | |
cosα·secα=1 |
正切恆等變形公式
兩角和與差的三角函數 | cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ |
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ | |
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ | |
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) | |
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) |
正切倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
正切三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
正切半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
正切降冪公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
正切萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
正切積化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
正切和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
正切其他
tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
tanA·tanB=1
正切正切函數圖像的性質
定義域:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域:R
奇偶性:有,為奇函數
週期性:有
最小正週期:π
單調性:有
單調增區間:(-π/2+kπ,+π/2+kπ),k∈Z
單調減區間:無
正切特殊角
tan15° | 2-√3 |
tan30° | √3/3 |
tan45° | 1 |
tan60° | √3 |
tan75° | 2+√3 |
正切正切定理
在平面三角形中,正切定理説明任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。
法蘭西斯·韋達(François Viète)曾在他對三角法研究的第一本著作《應用於三角形的數學法則》中提出正切定理。現代的中學課本已經甚少提及,例如由於中華人民共和國曾經對前蘇聯和其教育學的批判,在1966年至1977年間曾經將正切定理刪除出中學數學教材。不過在沒有計算機的輔助求解三角形時,這定理可比餘弦定理更容易利用對數來運算投影等問題。
正切定理: (a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
證明 由下式開始:
由正弦定理得出
(參閲三角恆等式)
- 參考資料
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- 1. 人民教育出版社 課程教材研究所 .九年級上冊數學課本:人民教育出版社,2016
- 2. 正切二倍角公式的妙用及其推廣 .考試周刊[引用日期2017-11-27]
- 3. 羅爾定理的推廣及證明 .科技資訊[引用日期2017-11-27]