Lp空間

設(X,M,μ)為測度空間，若f為X的可測函數，0＜p＜∞，定義

則可定義L^p空間L^p(X,M,μ)={f:X→

:f為可測函數且

}。

L^p(X,M,μ)可簡寫為L^p(μ)、L^p(X)或L^p。且L^p空間中的元為幾乎處處相等的相應函數等價類。

設A為非空集，定義l^p(A)為L^p(μ)，其中μ為(A,P(A))的計數測度。l^p(

)可簡記為l^p。 ^[1] 

將|f|的本質上確界定義為

=ess sup_x∈X|f(x)|=inf{M:|f|≤M幾乎處處成立}，則

L^∞=L^∞(X,M,μ)={f:X→

：f為可測函數且

}。

類似地，L^∞空間中的元為幾乎處處相等的有界可測函數等價類。 ^[2] 

L^p空間為向量空間。

當1≤p≤∞，L^p空間為巴拿赫空間，

為L^p空間的範數。。

閔可夫斯基不等式：當1≤p＜∞，且f,g∈L^p，

。

Lp空間在工程學領域的有限元分析中有應用。

當空間維度是無窮而且不可數的時候（沒有一個可數的基底），無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函數空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來説，給定可測空間(S,Σ,μ)以及大於等於1的實數p，考慮所有從S到域（或）上的可測函數。考慮所有絕對值的p次冪在S可積的函數，從不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，兩個p次可積函數的和，也是一個p次可積函數。另外，容易證明；閔可夫斯基不等式的積分形式説明三角不等式對成立。滿足這樣條件的構成一個半範數，令成為一個半賦範向量空間。之所以是半範數，是因為滿足的函數不一定是零函數。然而可以通過一套標準的拓撲方法從這個半賦範空間得到一個賦範空間。對可測函數來説，幾乎處處為零（在測度μ意義下）。所以幾乎處處為0，而同時也是的一個子空間。設是關於的商空間。中的某個元素可以看作是所有和函數相差一箇中元素的函數構成的等價類。這樣定義的空間是一個賦範向量空間，稱為S上函數關於測度μ的L^p空間。稱為函數的p-範數。

需要注意的是，L^p空間中的元素嚴格來説並不是具體的函數，而是一族函數構成的等價類。而當需要將L^p空間元素當作函數來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函數中抽取的一個代表函數。

與序列空間一樣，在函數空間上也可以定義一致範數。定義的方法和範數一樣。

一致範數與p-範數之間存在發關係：可以證明，L空間是完備的空間，也即是説是一個巴拿赫空間（完備賦範向量空間）。L^p空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分的相關收斂定理來完成。

L^p空間都是巴拿赫空間，但只有當p= 2的時候，L^p空間是希爾伯特空間。也就是説，可以為L空間中的元素定義內積。表示複數的共軛。這個內積是從2-範數自然誘導的內積。L^p空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有着重要的運用。空間可以看作是L^p空間的特例。只要取L^p空間中的，測度為上的計數測度，則對應的就是空間。