近乎處處

在測度論（數學分析的一個分支）中，在某種意義上，如果集合的屬性幾乎包含了所有可能性，那麼這個屬性是近乎處處的。近乎處處的概念是測度零概念的同伴概念。在概率主體中，這主要是基於測度理論，並且這個概念幾乎可以肯定地被認為。 ^[1] 

更具體地説，如果元素集合的屬性沒有不成立的就是測度零的集合（Halmos 1974）。在討論實數集時，除非另有説明，否則將採用勒貝格度量。

這個術語近乎處處可以縮寫為a.e。在較早的文獻中被用來代替等效的法語預言片。

一個完整測度的集合的補碼是測度零集。在概率理論中，這些術語幾乎可以肯定地，幾乎是確定的，幾乎總是指概率為1的事件，它們是概率空間中完全度量的集合。

有時候，不用説一個屬性近乎處處，而是説成這個屬性幾乎適用於所有元素（雖然這個術語幾乎都有其他含義）。

如果

是測度空間，則如果μ（{x∈X：¬P(x)}）= 0，那麼P就被説成是近乎處處的。表達同樣事物的另一種常見方式是説，“幾乎每個點都滿足P”或“幾乎每個x，P（x）成立”。

（1）如果屬性P近乎處處，並且隱含着屬性Q，那麼屬性Q近乎處處。這取決於測度的單調性。

（2）如果

是一個有限或可數的屬性序列，每個屬性近乎處處，則它們的連接

也近乎處處。這取決於測度的可重複次數。

（3）相反，如果

是不可數的屬性族，每個都保持近乎處處，然後它們的連接

不一定近乎處處。例如，當且僅當

，如果

是

上的勒貝格度量並且

是不等於x的屬性是真的，那麼每個

近乎處處，但是

不是近乎處處。

因為前兩個屬性，通常可以將測度空間的“幾乎每個點”理解為似乎是普通點而不是抽象點。這通常在非正式的數學論證中隱含地完成。然而，我們必須小心這種推理模式：對無數家庭聲明的普遍量化對於普通點是有效的，而不是“近乎每個點”。

（1）如果f：R→R是勒貝格積分函數，f（x）≥0近乎處處：

如果f（x）= 0近乎處處，那麼對於所有實數a<b，上式都能取等號。

（2）如果f：[a，b]→R是單調函數，則f幾乎在任何地方都是可微分的。

（3）如果f：R→R是勒貝格可測度的，並且

對於所有實數a <b，則存在集合E（取決於f），使得如果x在E中，則勒貝格意味着

收斂到f（x），當

降到零。 集合E被稱為勒貝格集合f。 其補碼可以證明具有測度為零。 換句話説，勒貝格的意思是f近乎處處。

（4）有界函數f：[a，b]→R是黎曼可積分，當且僅當它近乎處處連續。

在實際分析的背景之外，近乎處處的屬性的概念有時被定義為超濾子。 集X上的超濾子是X的子集的最大集合F，使得：

（1）如果U∈F和U⊆V，則V∈F；

（2）F中任意兩個集合的交集在F中；

（3）空集合不在F中。

相對於超濾子F，如果P保持的點集合在F中，則X中的點的屬性P幾乎保持不變。

例如，超現實數字系統的一個結構將超現實數字定義為幾乎等同於由超濾子定義的地方等同的序列。

在超濾子方面幾乎無處不在的定義與措施的定義密切相關，因為每個超濾子定義了僅有0和1值的有限加法測量，其中當且僅當包含該值時，該集合具有度量1 在超濾子中。