高斯積分

計算公式： ^[1] 

任何高斯函數的積分均可簡化為含高斯積分的項。 ^[2] 

常數a可以被提出積分。使用y=x-b來取代x-b獲得

使用z=y/c取得

高斯積分在概率論和連續傅里葉變換等的統一化等計算中有廣泛的應用。在誤差函數的定義中它也出現。雖然誤差函數沒有初等函數，但是高斯積分可以通過微積分學的手段解析求解。

（Gaussian quadrature）

首先我們説明一下這裏使用積分的符號：

表示f(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分。

首先看第一型曲線積分形式的高斯積分：

設L是一條曲線，r是這曲線一點到L外一點A(e,m)的連接向量，n是曲線這一點的法向量，(r,n)表示r與n向量的夾角，則積分為：

d

高斯積分的幾何意義就是：

g是從點A所能看到曲線L的角的度量。

設(x,n)是x軸正方向與n的夾角，(x,r)是x軸正方向與r的夾角，則

(r,n) = (x,n) - (x,r)

所以：

cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)

=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|

代入高斯積分：

g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|²) + (x-e)cos(x,n)/(|r|²)) ds

化成第二型曲線積分：

g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|²) dx - (x-e)/(|r|²) dy)

±表示法線n的兩個方向。

此方程滿足積分路徑無關的條件，假如L是一條閉曲線，A在L外部，那麼g=0，如果A在內部，根據挖奇點法，積分結果為2π。 ^[3] 

德國布隆斯威克人。德國的數學家、物理學家和天文學家。高斯幼年時就顯示出非凡的數學才能，得到Carl Wil-helm Ferdinand大公的賞識。在大公的支持下，1795—1798年在哥廷根(Gottingen)大學學習，1799年因證明代數學的基本定理而獲得哈勒(Halle)大學的博士學位。從1807年到1855年逝世，一直擔任哥廷根天文台台長兼大學教授。1796年用直尺圓規作出了正十七邊形一自歐幾里得以來兩千年間幾何作圖的一個難題。接着又證明了數論中的歐勒猜想—二次互反律。 據説從此後他決心放棄古典文學而獻身於數學。1801年用自己的行星軌道計稱法和最小二乘法算出了意大利天文學家皮亞齊 (1746—1826) 發現的穀神星軌道; 穀神星的軌道計算使他一舉名震世界。同年，出版經典著作《算術研究》，任職期間，高斯致力於數論、代數、幾何、分析、複變函數、統計數學等多方面的研究、取得了一系列的成果。高斯定理、高斯公式、高斯函數等以他命名的多種發現至今仍在許多數學、科學部門中閃爍着光輝。高斯還涉足了大地測量工作。 為了進行長距離測量，發明了“目光反射器”，並在理論上創造了“大地問題解法”，導致他開創了曲面微分幾何的理論。並由他的學生黎曼發展為黎曼幾何。與德國的物理學家韋伯(wilhelm Eduavd Weber，1804—1891)一道建立了電磁學中的高斯單位制; 1833年還和韋伯一起發明了電磁電極。高斯的治學態度十分嚴謹。他的格言是 “瑰麗的大廈建成後，應拆除雜亂無章的腳手架。” 因此他發表的每篇著作都是經過仔細推敲、無懈可擊的精品。因此，發表的論文比研究工作要少得多，但研究項目可在日記和書信中見到。全集包括日記、書信共計12卷。他是19世紀前半世紀最偉大的數學家。 ^[4]