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第二型曲線積分

第二型曲線積分亦稱關於座標的曲線積分，是一種與曲線定向有關的曲線積分，與第一型曲線積分相比，從物理意義上，可以看出兩種曲線積分是不同的，儘管它們都是沿着曲線的積分，但第一型的與方向無關，第二型的與方向有關。第二型曲線積分在向量場理論中還有許多應用。

第二型曲線積分第二型曲線積分的物理意義

第二型曲線積分的物理背景是變力沿曲線做功。

空間中有一變力F(x，y，z)=(P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z))作用在某質點上，使其從某一曲線L的端點A，沿着L移動到另一端點B，求該力做功多少？

顯然在L上取一有向弧微元ds=(dx，dy，dz)，則可得做功微元dw=F·ds，那麼力F移動質點從A到B所做的功為

，若用座標表示，則成為

這種類型的積分稱為第二型的曲線積分^[1] 。

定義1設函數P(x，y)，Q(x，y)定義在平面有向可求長度曲線L上，對L的任意分割T，它把L分成n個小弧段：

在每個小曲線段上任取一點

，若極限

存在，且與分割T和點

的取法無關，其中||T||是各小弧段長度的最大值，則稱此極限為函數P(x，y)，Q(x，y)沿有向曲線L上的第二型曲線積分，記為

或

定義2 設L為空間內一條光滑有向曲線，函數P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在L上有定義，則可以定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分，並記為^[2]

(1)如果把L分成L₁和L₂，且

(i=l，2)都存在，則

(2)設L是有向曲線弧，-L是與L方向相反的有向曲線弧，則

(3)若

存在，則

也存在，且^[2]

轉化為定積分，要注意的是：二型線積分的起點，對應定積分的下限，終點對應定積分的上限，即若曲線^[1]

則

參考資料

詞條統計