第一型曲線積分

設

為平面上可求長度的曲線段，

為定義在

上的函數．對曲線

作分割

，它把分成

個可求長度的小曲線段

，

的弧長記為

，分割

的細度為

，在

上任取一點

, 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限

為

在

上的第一型曲線積分 ^[1]  ，記為

或者簡寫成

。

設

為空間上可求長度的曲線段，

為定義在

上的函數．對曲線

作分割

，它把分成

個可求長度的小曲線段

，

的弧長記為

，分割

的細度為

，在

上任取一點

, 若存在極限

且它的值與分割及點的取法無關，則稱此極限

為

在

上的第一型曲線積分，記為

對於一般維空間中曲線，可同樣給出定義。

當

是平面上某一可求長度的曲線，

是其密度函數，當計算物體的質量問題時便須要第一型曲線積分．首先對

作分割,把分成n個可求長度的小曲線段

(i=1，2，…，n)，並在每一個上任取一點

，由於密度函數為連續函數,故當的弧長都很小時，每一小段的質量可近似地等於

,其中

為小曲線段的長度.於是在整個上的質量就近似地等於和式

當對

的分割越來越細密時,上述和式的極限就應是該物體的質量 ^[2]  ．

第一型曲線積分具有下述一些重要性質 ^[1]  :

1)．若

存在，

為常數，則

也存在，且

2)．若曲線段

由曲線

首尾相接而成，且

都存在，則

也存在，且

3)．若

與

都存在，且在

上

, 則

4)．若

存在，則

也存在，且

設有光滑曲線

，函數

為定義在

上的連續函數，則

下面給出二個常用的應用。

1) 空間曲線

的重心座標為 ^[1] 

2)曲線

繞z軸(x, y軸)的轉動慣量 ^[2]  是