響應函數

在信號與系統或電路理論等學科中，衝激響應(或叫脈衝響應)一般是指系統在輸入為單位衝激函數時的輸出（響應）。對於連續時間系統來説，衝激響應一般用函數h(t)來表示。對於無隨機噪聲的確定性線性系統，當輸入信號為一脈衝函數δ（t） 時，系統的輸出響應 h（t）稱為脈衝響應函數。

脈衝響應函數可作為系統特性的時域描述。 至此，系統特性在時域可以用h(t)來描述，在頻域可以用H(ω)來描述，在複數域可以用H(s) 來描述。三者的關係也是一一對應的。

對於任意的輸入 u（t），線性系統的輸出 y（t）表示為脈衝響應函數與輸入的卷積， 即如果系統是物理可實現的,那麼輸入開始之前，輸出為0，即當 τ<0時 h(τ)=0，這裏τ 是積分變量 ^[2]  。

對於離散系統，脈衝響應函數是一個無窮權序列，系統的輸出是輸入序列u(t)與權序列h(t)的卷積和。系統的脈衝響應函數是一類非常重要的非參數模型。

辨識脈衝響應函數的方法分為直接法、相關法和間接法。

①直接法：將波形較理想的脈衝信號輸入系統，按時域的響應方式記錄下系統的輸出響應，可以是響應曲線或離散值。

②相關法：由著名的維納-霍夫方程得知:如果輸入信號u(t)的自相關函數R(t)是一個脈衝函數kδ(t), 則脈衝響應函數在忽略一個常數因子意義下等於輸入輸出的互相關函數,即 h(t)=(1/k)Ruy(t)。實際使用相關法辨識系統的脈衝響應時，常用偽隨機信號作為輸入信號，由相關儀或數字計算機可獲得輸入輸出的互相關函數Ruy(t),因為偽隨機信號的自相關函數 R(t)近似為一個脈衝函數，於是h(t)=(1/k)Ruy(t)。這是比較通用的方法。也可以輸入一個帶寬足夠寬的近似白噪聲信號，得到h(t)的近似表示。

③間接法：可以利用功率譜分析方法，先估計出頻率響應函數H（ω）, 然後利用傅里葉逆變換將它變換到時域上，於是便得到脈衝響應h(t)。