功率譜

傅立葉級數提出後，首先在人們觀測自然界中的週期現象時得到應用。19世紀末，Schuster提出用傅立葉級數的幅度平方作為函數中功率的度量，並將其命名為“週期圖”（periodogram）。這是經典譜估計的最早提法，這種提法至今仍然被沿用，只不過現在是用快速傅立葉變換（FFT）來計算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號中功率的度量。

週期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用線性迴歸方程來模擬一個時間序列。Yule的工作實際上成了現代譜估計中最重要的方法——參數模型法譜估計的基礎。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時間序列，得出Yule-Walker方程，可以説，Yule和Walker都是開拓自迴歸模型的先鋒。

由於功率沒有負值，所以功率譜曲線上的縱座標也沒有負數值，功率譜曲線所覆蓋的面積在數值上等於信號的總功率（能量）。

功率信號

在時間段

上的平均功率可以表示為

如果

在時間段

上可以用

表示，且,

的傅里葉變換為

，其中

表示傅里葉變換。當

增加時，

以及

的能量增加。當

時

，此時

可能趨近於一極限。假如此極限存在，則其平均功率亦可以在頻域表示，即

定義

為

的功率密度函數，或者簡稱為功率譜，其表達式如下。

功率譜密度的常用性質為： ^[2] 

(1)功率譜密度函數

是實的；

(2)功率譜密度是非負的，即

；

(3)功率譜密度的逆傅里葉變換是信號的自相關函數；

(4)功率譜密度對頻率的積分給出信號

的方差，即

上式中

表示求方差的算符，

表示求均值算符，

表示

的均值。

功率譜密度定義給出了區別於時域的功率描述方法，常應用於統計信號處理，介紹兩個基本應用

（1）白噪聲與有色噪聲的定義。

若信號的功率譜

等於常數，即，則隨機過程

稱為白噪聲，反之則稱為有色噪聲。

（2）利用其與自相關函數的關係求信號的自相關函數。

週期運動在功率譜中對應尖鋒，混沌的特徵是譜中出現"噪聲背景"和寬鋒。它是研究系統從分岔走向混沌的重要方法。 在很多實際問題中（尤其是對非線性電路的研究）常常只給出觀測到的離散的時間序列X1, X2, X3,...Xn,那麼如何從這些時間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動點、一維極限環、二維環面、奇怪吸引子）的不同狀態的信息呢？ 我們可以運用數學上已經嚴格證明的結論，即擬合。我們將N個採樣值加上週期條件Xn+i=Xi，則自關聯函數（即離散卷積）為 然後對Cj完成離散傅氏變換，計算傅氏係數。 Pk説明第k個頻率分量對Xi的貢獻，這就是功率譜的定義。當採用快速傅氏變換算法後，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到係數 然後計算 ，由許多組{Xi}得一批{Pk'}，求平均後即趨近前面定義的功率譜Pk。 從功率譜上，四種吸引子是容易區分的，考慮到實際計算中，數據只能取有限個，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實驗和數值計算的角度看，一個週期十分長的解和一個混沌解是難於區分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。 ^[1]