算符

這種數學形式，就被稱作“算符”。 也就是説算符是測量/改變的數學形式。 那麼這種數學形式就一定是作用在同樣是數學形式的態函數上，例如▽。 ^[1] 

對於不同的系統，和不同的系統所可能具備的不同狀態，我們就引入不同的態函數來描繪。 同理，對於不同類型的改變，干涉，測量，我們就引入不同類型的算符。

而在狄拉克表示下（另一種數學化的方法），態函數的樣子是狄拉克括號，這裏就會引入一套新的針對算符的數學化的方法。

Pauli表示下，系統被數學化為向量，向量化的態函數對應的算符又是什麼呢？ 可以想見，就是可以對向量進行操作的矩陣。 所以Pauli表示中算符稱為了矩陣。

數學中的算符被定義為一個函數集向函數集的映射。如導數算符，微分算符等等。

物理學中，特別是量子物理常常使用到算符的概念。如動量算符、角動量算符、哈密頓算符、拉格朗日算符等等。下面主要介紹量子物理算符的一些概念：

量子物理學中，算符是一個函數，作用於物理系統的物理態 (physical state)，使這個物理態變換為另外一個物理態。 算符可以應用於經典力學的對稱性的研究，是一個非常有用的工具。在量子力學裏，算符概念也是理論表述不可缺少的一部分。 ^[2] 

對於量子力學，我們關心的物質世界，為了方便量化，可以簡單的稱之為“系統”。 也就是説需要了解和改變的對象，是系統。 那麼如何描述一個系統呢，在這裏，就引入了“態”的概念。 系統的態，從字面上，就是系統所處的狀態。 嚴格上説，“態”就是包含了對於一個系統，我們所有“有可能”瞭解的信息的總和。 在這個抽象定義的基礎上，為了描繪“態”，引入了“態函數”，用一個函數來代表一個態，到這裏就可以將問題數學化和具體化了。

對於系統的這個態，也就是對於物質的狀態，我們可以做哪些呢？ 無非就是了解（也就是測量），和干涉（也就是改變）。 量子力學裏面，瞭解的過程和干涉的過程其實是同步而不能分割的，這也從某種意義上提供了方便---為了描繪我們如何對系統的態進行了解，或進行改變，我們只需引入一種數學形式就可以了。

這種數學形式，就被稱作“算符”。 也就是説算符是測量/改變的數學形式。 那麼這種數學形式就一定是作用在同樣是數學形式的態函數上。

對於不同的系統，和不同的系統所可能具備的不同狀態，我們就引入不同的態函數來描繪。 同理，對於不同類型的改變，干涉，測量，我們就引入不同類型的算符。

所以，當一個操作（測量，改變）被施加在一個系統上，數學上一個算符就作用在了一個態函數上。 毫無疑問，我們希望從這種操作中瞭解我們究竟如何改變了系統，或者我們希望從測量裏得到希望的系統參數。 這時，我們可以觀察數學化以後的算符作用在態函數上得到了什麼？得到的是一個新的態函數，這個新的態函數自然也就代表了我們改變之後的那個系統。

特別的，對於所有“測量”類操作， 我們能夠得到來自系統的反饋。 這種反饋也就是測量的結果。 並非所有操作都能得到可以觀測的結果，而這類能得到可觀結果的操作，也就是測量，其代表的算符也必然具備某種共性，這種共性被成為厄米性，這類算符被稱為厄米算符。 這類算符作用在態函數上，可以得到態函數本徵函數的本徵值——本徵值也就是測量的結果。 舉例來説，動量算符作用於態函數，就得到系統的動量。

再談一點關於具體的數學化過程——在薛定諤表示下（一種數學化的方法），態函數的樣子就是一個正常的連續函數。相對的，算符自然就是可以對函數進行操作的數學符號了---它可以包含微分，積分，加減乘除，取絕對值等等等等。

而在狄拉克表示下（另一種數學化的方法），態函數的樣子是狄拉克括號，這裏就會引入一套新的針對算符的數學化的方法。

Paoli表示下，系統被數學化為向量，向量化的態函數對應的算符又是什麼呢？ 可以想見，就是可以對向量進行操作的矩陣。 所以paoli表示中算符稱為了矩陣。

算符代數稍有別於普通的矢量代數。用算符時，必須時刻保持正確的順序，以便使運算構成有適當的意義。凡要求導的東西一定要放在算符的右邊，當算符被完全滿足，那麼就不再是算符，而是一個有意義的物理矢量。若放在算符的左邊則仍然是一算符。