角動量算符

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其概率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。

在經典力學裏，角動量

定義為位置

與動量

的叉積：

。

在量子力學裏，對應的角動量算符

定義為位置算符

與動量算符的叉積：

。

由於動量算符的形式為

。

角動量算符的形式為

。

其中，

是梯度算符。

在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的x-分量

：

。

其伴隨算符

為

。

由於

，都是厄米算符，

。

由於

與

之間、

與

之間分別相互對易，所以，

。

因此，

是一個厄米算符。類似地，

與

都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考

算符，

。

其伴隨算符為

。

由於

算符、

算符、

算符，都是厄米算符，

。

所以，

算符是厄米算符。

兩個算符

的交換算符

，表示出它們之間的對易關係。

思考

的交換算符，

。

由於兩者的對易關係不等於0，

與

彼此是不相容可觀察量。

絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，

的本徵態與

的本徵態不同。

思考哈密頓算符

與

的交換算符，

，

與

是對易的，

與

彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到

與

的同樣的本徵值。

在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：

；

其中，

是泊松括號，

是列維-奇維塔符號，

，代表直角座標

。