動量算符

微觀粒子的動量為

，其中，

為其分量。在量子力學中，我們對粒子的動量進行量子化，用動量算符表達粒子的動量，即

這等效於動量分量的量子化：

而動量的分量算符為

則動量的矢量算符為

^[1] 

對於動量算符

，其本徵方程為

類似於對位置算符本徵方程的分離變量處理，我們對動量算符的本徵方程也進行分離變量。令本徵值為

屬於該本徵值的本徵態為

將式

、式

和式

代人式

，我們獲得動量的各分量算符的本徵方程

注意到式

中動量分量算符的數學形式，各分量算符的本徵方程又可改寫成

對上式中的每個分量方程進行積分運算，可得動量算符的三個分量算符的本徵態

式中

和

為待定的積分常量。於是動量算符

的本徵態為

式中

為歸一化常數。顯然，動量算符的本徵態是平面波，本徵值連續取值，構成連續譜。 ^[1] 

按波函數的歸一化思想，我們對

作內積運算

內積的結果是動量本徵波函數不能被歸一化。上述的積分在通常的意義下是發散的，這一情況在量子理論中對連續譜的情形具有普遍性：連續譜的本徵態不是平方可積的。

實際上，在通常意義下連續譜的本徵態不能歸一化到1，而是歸一化成

函數。這是因為連續譜的本徵函數滿足以下的積分：

通過稍複雜的數學處理，可知

於是

^[1] 

將座標算符和動量算符代入算符的對易式中：

然後，將上式作用到一個任意的態矢

上：

由於

是任意的態矢，故恆有

類似的，我們還可以得到

上面對易式可統一寫成

其中

必須指出，在量子理論中許多力學量的算符都是由座標算符和動量算符組合而成。於是，許多不同的力學量算符之間的對易關係也都涉及

這一對易式。所以，微觀粒子的座標算符與動量算符的對易式是量子理論中最基本和最重要的對易式。 ^[1] 

現在我們來説明動量算符的物理意義．為簡單起見，可以只考慮一維運動．設整個系統沿x方向平移一段小距離a（如圖1）．這時原來的態

變成了另一個態

．兩個態之間顯然有下面的關係：

因為距離a很小，可以作泰勒展開：

在a是無窮小的情況下，精確到一級項 ，有

狀態

平移後變為另一個態．根據算符的定義，這個新態等於某個算符作用在原來態上的結果．這個算符可以用動量算符表達出來，即為

．特別在無窮小移動的情況下，動量算符純粹反映了系統空間平移的特性，所以有時也稱它為平移無窮小算符．這種看法和經典力學裏理解動量的精神是一致的．在經典力學裏，動量是反映粒子空間位置變化的趨勢或能力的．

推廣到三維空間，狀態

經平移矢量a後變為

^[2]