非參數模型

對比於確定已知模型結構中的各個參數，再通過理論分析得出的參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應，例如通過實驗記錄到的系統脈衝響應或階躍響應就是非參數模型。而用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型則都是參數模型。運用各種系統辨識的方法，可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構，則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。

非參數模型一般表達式為

其中Y是響應變量，T是協變量並且與隨機誤差ε相互獨立，m(T)=E(Y/T)為未知的光滑函數，誤差滿足E（ε）=0，var（ε）=1.標準差函數σ(.)恆正。

對於非參數模型，有許多估計方法可以選擇，例如核估計方法，樣條方法，傅里葉級數展開法和局部多項式方法。 ^[1] 

利用直接記錄或分析系統的輸入和輸出信號的方法估計系統的非參數模型。非參數模型通常以響應曲線或離散值形式表示。非參數模型的辨識可通過直接記錄系統輸出對輸入的響應過程來進行；也可通過分析輸入與輸出的自相關和互相關函數(見相關分析法建模)，或它們的自功率譜和互功率譜函數(見頻譜分析方法建模)來間接地估計。非參數模型是經典控制理論中常用的描述線性系統的數學模型。傳遞函數反映輸入與輸出的拉普拉斯變換在複數域上的響應關係，頻率響應反映它們的傅里葉變換在頻率域上的響應關係，而脈衝響應和階躍響應則是在時域上的響應關係。它們從不同的方面反映系統的動態特性。非參數模型比參數化模型直觀，辨識非參數模型的方法和計算也比辨識參數化模型的簡單。脈衝響應可以用直接記錄輸入脈衝函數的輸出響應的方法來辨識；頻率響應也可以直接利用單頻正弦輸入信號的響應來辨識。但是這種直接辨識方法只能應用於無隨機噪聲的確定性系統。對於有隨機噪聲的系統或隨機輸入信號，必須使用相關分析法或功率譜分析方法。 ^[2] 

參數模型的優勢在於它的靈活性，不需要對模型的結構做任何具體的假設。可是，非參數模型存在明顯的缺陷。

首先，維數詛咒是非參數估計無法逃避的一個本質問題。

其次，非參數模型中很難加入離散的預測變量。

第三，當預測變量的維數較高時，很難畫出估計函數的圖像並給出估計的合理解釋。

半參數模型作為非參數模型和參數模型之間的一類模型,既繼承了非參數模型的靈活性,又繼承了參數模型的可解釋性，可以進一步改善非參數模型的缺陷。 ^[3] 

隨着快速傅里葉變換儀、偽隨機信號發生器和相關儀的問世，辨識系統的非參數模型已變得比較容易。但非參數模型應用於實時控制和適應性控制仍不如參數化模型方便。非參數模型在某些情形下，可以轉化為參數模型。例如，如果一個系統的傳遞函數可以表示為有理分式H(s)=K/(a+s)，則系統的模型可以用常微分方程y'+ay=ku表示，a與k為待估計的模型參數，這是參數化模型。又如，對於離散系統的權函數序列（離散脈衝響應序列）{hi，i=0,1,…}，如果在i充分大（如i>N0），而│hi│充分小時,則模型可以表示為並可用最小二乘法給出有窮權函數序列{hi，i=0,1,…N0}的估計。一般説來,由參數模型容易獲得非參數的脈衝響應或頻率響應，但由非參數模型化為參數模型則要困難得多。 ^[3]