非參數估計

非參數估計(nonparametric estimation)是相對於參數估計來説的一類估計方法。 在非參數估計中，對基本分佈不做假定，主要利用隨機抽樣本身的信息來對估計量的優劣作出判斷，最大得分估計量方法就是一種非參數估計方法；而在參數估計中，對基本分佈先要做出假定，只是其特徵值需要估計，如在古典假設中常常假定隨機擾動項U服從正態分佈，特徵值μ和方差σ待定。非參數迴歸與非參數估計相近，非參數迴歸函數形式不確定，其結果外延困難，但擬合效果卻比較好。非參數迴歸的基本方法有核函數法，最近鄰函數法，樣條函數法，小波函數法。這些方法儘管起源不一樣，數學形式相距甚遠，但都可以視為關於Yi的線性組合的某種權函數 ^[2]  。也就是説，迴歸函數g(X)的估計g_n(X)總可以表為下述形式：

其中{W_i(X)}稱為權函數。這個表達式表明， g_n(X)總是Y_i的線性組合，一個Y_i對應一個W_i。W_i(X)寫得更仔細一點應該是W_i(X₁，…， X_n)。

在一般實際問題中，權函數都滿足下述條件：

在具體計算方面，一般來説，核函數方法多用於密度估計或者需要密度估計的隨機樣本回歸，樣條與小波函數多用於作信噪分離解釋的迴歸(當然也有用於密度估計的) ^[2]  。

非參數估計又稱為非參數檢驗，是指在不考慮原總體分佈或者不作關於參數假定的前提下，直接用已知類別的學習樣本的先驗知識直接進行統計檢驗和判斷分析的一系列方法的總稱。

非參數估計不假定數學模型，可避免對總體分佈的假定不當導致重大錯誤所以常有較好的穩健性(見“穩健統計”)。而參數估計要求函數的數學模型形式已知，如假定研究的問題具有正態分佈或二項分佈，再用已知類別的學習樣本估計裏面的參數，但這種假定有時並不成立。

由於非參數統計中對分佈假定要求的條件寬，因而大樣本理論(見大樣本統計)佔據了主導地位。第二次世界大戰前，非參數統計的大樣本理論已有了一些結果，從20世紀50年代至今，更是有了顯著的進展，尤其是關於秩統計量與U統計量的大樣本理論，以及基於這種理論的大樣本非參數方法，研究成果很多。近代理論證明了一些重要的非參數統計方法，當與相應的參數方法比較時，即使在最有利於後者的情況下，效率上的損失也很小 ^[3]  。

非參數估計主要適用於以下方面：

(1)待分析數據不滿足參數檢驗的假設條件時。

(2)客觀對象採用名義尺度或順序尺度度量時應當使用非參數估計。當客觀對象採用名義尺度或者順序尺度時，如消費者對不同商標的飲料的喜惡程度，傳統的參數方法無法對其進行檢驗，因此應當使用非參數估計。

優點：①假設條件少，應用範圍廣泛；②運算簡單，可節省運算時間；③方法直觀，不需要太多的數學基礎知識和統計學知識，容易理解；④能夠適應名義尺度和順序尺度等對象，而參數估計不行；⑤當推論多達三個以上時，非參數統計方法尤其具有優越性。

缺點：①方法簡單，檢驗功效差，即在給定的顯著性水平下進行檢驗時，非參數統計方法與參數統計方法相比，第Ⅱ類錯誤的概率β要大些；②對於大樣本，如不採用適當的近似，計算可能變得十分複雜。

因此，總體來説非參數估計適用於估計隱含影響因素較多的權證隱含波動率，而且使用Matlab軟件作非參數估計，可以很好地克服計算工作量大的缺點 ^[3]  。